哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
三．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域上二阶可微，且
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{3} .
$$
求 $\displaystyle f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：取对数转化极限条件
已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{3}$，两边取自然对数得 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right) = 3$。
公式：$\lim_{x\to0} \frac{1}{x}\ln(1+x+\frac{f(x)}{x})=3$
提示：注意极限与指数函数的转换，取对数后极限值不变。
步骤 2/7
目标：确定 $f(0)$ 和 $f'(0)$
令 $g(x)=1+x+\frac{f(x)}{x}$，由 $\frac{1}{x}\ln g(x)\to 3$ 知 $\ln g(x)\to 0$，故 $g(x)\to 1$，即 $\lim_{x\to0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)=1$，从而 $\lim_{x\to0}\left(x+\frac{f(x)}{x}\right)=0$。由于 $x\to0$，必有 $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0$，因此 $f(0)=0$（$f$ 在 $0$ 处连续）。进而 $f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0$。
公式：$f(0)=0,\ f'(0)=0$
提示：注意 $f$ 二阶可微隐含连续，且 $\frac{f(x)}{x}\to0$ 是 $f(0)=0$ 的必要条件。
步骤 3/7
目标：展开 $\ln g(x)$ 至一阶
令 $u=x+\frac{f(x)}{x}$，则 $u\to0$。利用 $\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2)$。由于 $f'(0)=0$，将 $f(x)$ 泰勒展开：$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)=\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)$，故 $\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2}f''(0)x+o(x)$。于是 $u=x+\frac{1}{2}f''(0)x+o(x)=\left(1+\frac{1}{2}f''(0)\right)x+o(x)$。
公式：$\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2)$
提示：泰勒展开时注意余项阶数，$o(x^2)$ 表示比 $x^2$ 高阶的无穷小。
步骤 4/7
目标：代入极限条件求 $f''(0)$
将 $u$ 代入 $\ln g(x)$：$\ln g(x)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2)=\left(1+\frac{1}{2}f''(0)\right)x+o(x)-\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}f''(0)\right)^2x^2+o(x^2)$。则 $\frac{1}{x}\ln g(x)=\left(1+\frac{1}{2}f''(0)\right)+o(1)-\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}f''(0)\right)^2x+o(x)$。取极限 $x\to0$ 得 $1+\frac{1}{2}f''(0)=3$，解得 $f''(0)=4$。
公式：$1+\frac{1}{2}f''(0)=3$
提示：注意 $o(x)$ 项除以 $x$ 后趋于0，因此只需考虑常数项。
步骤 5/7
目标：求新极限的表达式
需求 $\displaystyle \lim_{x\to0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}$。令 $h(x)=1+\frac{f(x)}{x}$，则 $h(x)\to1$。取对数：$\ln h(x)=\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)=\frac{f(x)}{x}-\frac{1}{2}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2+o\left(\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2\right)$。由 $f''(0)=4$ 得 $\frac{f(x)}{x}=2x+o(x)$。代入得 $\ln h(x)=2x+o(x)-\frac{1}{2}(2x)^2+o(x^2)=2x-2x^2+o(x^2)$。
公式：$\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2)$
提示：注意 $\frac{f(x)}{x}$ 的展开与之前一致，但此时 $f''(0)$ 已知。
步骤 6/7
目标：计算新极限的值
于是 $\frac{1}{x}\ln h(x)=2-2x+o(x)\to2$，所以 $\displaystyle \lim_{x\to0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}=e^2$。
公式：$\lim_{x\to0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}=e^2$
提示：极限计算时注意 $\frac{1}{x}\ln h(x)$ 的极限为2，不要遗漏负号。
步骤 7/7
目标：汇总结果
综上，$f(0)=0$，$f'(0)=0$，$f''(0)=4$，$\displaystyle \lim_{x\to0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}=e^2$。
提示：检查所有结果是否满足题目条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。