哈尔滨工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，并且单调递增，若函数 $f(x)$ 有上界，则函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用单调有界定理证明极限存在
由于 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调递增且有上界，由单调有界定理，极限 $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ 存在，记为 $L$。即 $\forall \varepsilon>0$，$\exists X>0$，使得当 $x>X$ 时，有 $|f(x)-L|<\varepsilon/2$。
公式：单调有界定理
提示：注意单调递增且有上界才能保证极限存在，单调递减且有下界类似。
步骤 2/7
目标：在闭区间上应用一致连续性
考虑区间 $[a, X+1]$。由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a, X+1]$ 上连续，从而一致连续。因此，对上述 $\varepsilon>0$，$\exists \delta_1>0$，使得对任意 $x',x''\in[a, X+1]$，当 $|x'-x''|<\delta_1$ 时，有 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon/2$。
公式：闭区间上连续函数一致连续定理
提示：闭区间上连续函数一定一致连续，但开区间不一定。
步骤 3/7
目标：构造全局的δ
取 $\delta = \min\{\delta_1, 1\}$。下面证明对任意 $x',x''\in[a,+\infty)$，当 $|x'-x''|<\delta$ 时，有 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$。
提示：δ取最小值是为了保证在不同情况下都能满足条件。
步骤 4/7
目标：分情况讨论：两点都在闭区间内
若 $x',x''\in[a, X+1]$，则由 $\delta_1$ 的定义，有 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon/2<\varepsilon$。
提示：注意这里直接用了δ1的性质。
步骤 5/7
目标：分情况讨论：两点都在无穷远处
若 $x',x''\in[X,+\infty)$，则由于 $|x'-x''|<\delta\leq 1$，且 $x',x''>X$，有 $|f(x')-L|<\varepsilon/2$ 和 $|f(x'')-L|<\varepsilon/2$，从而 $|f(x')-f(x'')|\leq |f(x')-L|+|f(x'')-L|<\varepsilon$。
公式：三角不等式
提示：注意这里利用了极限定义中的不等式。
步骤 6/7
目标：排除不可能的情况
若 $x'\in[a, X]$，$x''\in[X+1,+\infty)$，则 $|x'-x''|\geq (X+1)-X=1$，与 $|x'-x''|<\delta\leq 1$ 矛盾，故不可能。其他交叉情况可归入前两种情况。
提示：注意区间端点处的距离至少为1，而δ≤1，所以这种情况不会发生。
步骤 7/7
目标：总结一致连续性
因此，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x',x''\in[a,+\infty)$，当 $|x'-x''|<\delta$ 时，有 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$。故 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
公式：一致连续的定义
提示：一致连续要求δ只依赖于ε，不依赖于点的位置。
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