哈尔滨工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是：对任意的正整数 $p$ ，有
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\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+p}-a_{n}\right|=0
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件
题目声称：数列 $\{a_n\}$ 收敛的充要条件是：对任意正整数 $p$，有 $\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0$。我们需要判断这个命题是否正确。
提示：注意区分充要条件与必要条件。
步骤 2/6
目标：证明必要性
设 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$|a_n-a|<\varepsilon/2$。于是对任意正整数 $p$，当 $n>N$ 时，$|a_{n+p}-a_n|\leq |a_{n+p}-a|+|a-a_n|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$，故 $\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0$。因此条件是必要的。
公式：三角不等式：$|a_{n+p}-a_n|\leq |a_{n+p}-a|+|a-a_n|$
提示：注意 $p$ 是任意固定的正整数，$n$ 趋于无穷时 $n+p$ 也趋于无穷。
步骤 3/6
目标：尝试证明充分性
假设对任意正整数 $p$，有 $\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0$。我们试图证明 $\{a_n\}$ 是柯西列。对任意 $\varepsilon>0$，取 $p=1$，则存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，$|a_{n+1}-a_n|<\varepsilon/2$。但仅此不足以得到柯西条件，因为柯西条件要求对任意 $m>n$，$|a_m-a_n|$ 可以任意小，而这里只给出了相邻项的差。
提示：注意：条件只保证了对每个固定的 $p$，$|a_{n+p}-a_n|$ 趋于0，但 $p$ 可以依赖于 $n$ 吗？不能，因为 $p$ 是固定的。
步骤 4/6
目标：构造反例
考虑调和级数的部分和：$a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$。对任意固定的正整数 $p$，$|a_{n+p}-a_n|=\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\leq \frac{p}{n+1}\to 0$（当 $n\to\infty$）。所以条件成立。但 $\{a_n\}$ 发散（因为调和级数发散）。因此条件不是充分的。
公式：$\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\leq \frac{p}{n+1}$
提示：注意：$\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}$ 的估计可以用积分或放缩。
步骤 5/6
目标：分析反例的合理性
对于调和级数部分和，$a_n\to\infty$，但相邻项之差 $a_{n+1}-a_n=1/(n+1)\to 0$，且对任意固定 $p$，$a_{n+p}-a_n$ 是 $p$ 个趋于0的项之和，故趋于0。但数列不收敛，因为它是无界的。这说明条件只能保证数列是“渐近等距”的，但不能保证有界性。
提示：注意：收敛数列必有界，但此条件不能推出有界。
步骤 6/6
目标：总结正确结论
数列 $\{a_n\}$ 收敛的充要条件是柯西收敛准则：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得当 $n,m>N$ 时，$|a_n-a_m|<\varepsilon$。而题目中的条件（对任意固定 $p$，$\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0$）是必要条件，但不是充分条件。因此原命题错误。
公式：柯西收敛准则
提示：注意区分“对任意 $p$”和“对任意 $m>n$”的区别。
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