哈尔滨工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界，则函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用有界导数条件
由于 $f'(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，存在 $M > 0$，使得对任意 $x \in (a, b)$，有 $|f'(x)| \leq M$。
提示：注意有界性定义：存在常数 $M$ 使得所有导数值的绝对值不超过 $M$。
步骤 2/6
目标：取定参考点
取定一点 $x_0 \in (a, b)$。对任意 $x \in (a, b)$，考虑函数值差 $f(x) - f(x_0)$。
提示：参考点 $x_0$ 可以是区间内任意固定点，通常取中点或方便计算的某点。
步骤 3/6
目标：应用拉格朗日中值定理
由拉格朗日中值定理，存在介于 $x$ 与 $x_0$ 之间的 $\xi$，使得 $$f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0).$$
公式：拉格朗日中值定理：若 $f$ 在 $[x_0, x]$ 上连续，在 $(x_0, x)$ 内可导，则存在 $\xi \in (x_0, x)$ 使得 $f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)$。
提示：注意 $\xi$ 依赖于 $x$，但 $|f'(\xi)| \leq M$ 对所有 $\xi$ 成立。
步骤 4/6
目标：估计函数值的绝对值
对上式取绝对值，得 $$|f(x)| \leq |f(x_0)| + |f'(\xi)| \cdot |x - x_0|.$$
公式：三角不等式：$|a+b| \leq |a| + |b|$。
提示：注意 $|f(x)-f(x_0)| \geq |f(x)| - |f(x_0)|$，但此处直接放缩更简单。
步骤 5/6
目标：利用有界性放缩
由于 $|f'(\xi)| \leq M$ 且 $|x - x_0| < b - a$（因为 $x, x_0 \in (a, b)$），所以 $$|f(x)| \leq |f(x_0)| + M(b - a).$$
提示：注意 $|x-x_0|$ 的最大可能值不超过区间长度 $b-a$，但严格小于，因为端点未取到。
步骤 6/6
目标：得出有界结论
令 $C = |f(x_0)| + M(b - a)$，则对任意 $x \in (a, b)$，有 $|f(x)| \leq C$，因此 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界。
提示：常数 $C$ 与 $x$ 无关，故 $f$ 在 $(a,b)$ 上有界。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。