哈尔滨工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．对于数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，总有 $a_{n}<b_{n}$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解命题并判断正误
题目给出命题：若数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足 $a_n < b_n$ 对所有 $n$ 成立，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。直觉上，由于 $a_n$ 小于收敛级数的通项，似乎 $\sum a_n$ 也应收敛，但需注意 $a_n$ 可能为负数，导致比较判别法失效。因此，该命题可能错误。
提示：注意比较判别法要求非负项，这里 $a_n$ 可能为负，不能直接应用。
步骤 2/6
目标：构造反例思路
要否定命题，需构造满足 $a_n < b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，但 $\sum a_n$ 发散的数列。考虑让 $b_n$ 为正且收敛（如 $p$-级数 $p>1$），而 $a_n$ 为负且发散（如负调和级数）。例如取 $b_n = \frac{1}{n^2}$，$a_n = -\frac{1}{n}$。
提示：反例中 $a_n$ 为负，$b_n$ 为正，需验证 $a_n < b_n$ 是否成立。
步骤 3/6
目标：验证反例条件
取 $a_n = -\frac{1}{n}$，$b_n = \frac{1}{n^2}$。对于 $n \geq 2$，有 $-\frac{1}{n} < \frac{1}{n^2}$ 成立（因为 $\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n} > 0$）。对于 $n=1$，$a_1 = -1$，$b_1 = 1$，也满足 $-1 < 1$。因此对所有 $n$ 有 $a_n < b_n$。
提示：注意验证所有自然数，但有时只需对充分大的 $n$ 成立即可，因为级数收敛性取决于尾部。
步骤 4/6
目标：验证 $\sum b_n$ 收敛
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是 $p$-级数，$p=2>1$，故收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛。
提示：牢记 $p$-级数的收敛条件。
步骤 5/6
目标：验证 $\sum a_n$ 发散
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，而调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，乘以非零常数仍发散，故 $\sum a_n$ 发散。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散。
提示：调和级数发散是经典结论，注意与 $p$-级数区分。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在反例满足条件但结论不成立，原命题错误。
提示：反例法常用于否定命题，需确保所有条件满足。
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