哈尔滨工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5．已知二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数存在，则二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解命题
命题声称：如果二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续。我们需要判断这个命题是否正确。
提示：注意偏导数存在仅保证沿坐标轴方向的变化率存在，不能保证函数在该点连续。
步骤 2/6
目标：构造反例
考虑函数
\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} \]
这个函数在除原点外有定义，且原点处定义为0。
提示：反例需满足偏导数存在但函数不连续，常用分式函数如 $\frac{xy}{x^2+y^2}$。
步骤 3/6
目标：计算偏导数 $f_x(0,0)$
由偏导数定义：
\[ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \]
当 $h \neq 0$ 时，$f(h,0) = \frac{h \cdot 0}{h^2+0^2} = 0$，且 $f(0,0)=0$，所以
\[ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0-0}{h} = 0 \]
公式：$f_x(x_0,y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h, y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$
提示：注意 $f(h,0)=0$ 是因为分子为0，分母非零。
步骤 4/6
目标：计算偏导数 $f_y(0,0)$
类似地，
\[ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} \]
当 $k \neq 0$ 时，$f(0,k) = \frac{0 \cdot k}{0^2+k^2} = 0$，所以
\[ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{0-0}{k} = 0 \]
公式：$f_y(x_0,y_0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(x_0, y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}$
提示：同样注意 $f(0,k)=0$。
步骤 5/6
目标：验证函数在原点不连续
考虑沿直线 $y=x$ 趋于 $(0,0)$：
\[ \lim_{x \to 0} f(x,x) = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x^2+x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} \]
而 $f(0,0)=0$，所以极限值不等于函数值，因此函数在 $(0,0)$ 处不连续。
公式：函数连续的定义：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)$
提示：沿不同路径极限不同可证明不连续，这里选择 $y=x$ 路径。
步骤 6/6
目标：得出结论
该反例表明：两个偏导数存在（均为0）但函数在原点不连续。因此原命题错误。
提示：偏导数存在只是连续的必要非充分条件，多元函数中偏导数存在不能保证连续。
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