哈尔滨工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：补充前提条件
由于题目未明确给出函数条件，根据结论形式，补充合理前提：设函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，且 \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)（即端点函数值异号）。
提示：零点定理要求函数连续且端点异号，这是证明存在零点的标准条件。
步骤 2/5
目标：构造集合并确定上确界
不妨设 \( f(a) > 0 \), \( f(b) < 0 \)（另一种情况同理）。定义集合 \( S = \{ x \in [a, b] \mid f(x) > 0 \} \). 显然 \( a \in S \)，故 \( S \) 非空且有上界 \( b \)。由确界原理，\( S \) 存在上确界，记 \( \xi = \sup S \)，则 \( a \leq \xi \leq b \).
公式：\xi = \sup S
提示：确界原理是实数完备性的重要体现，注意上确界不一定属于集合。
步骤 3/5
目标：证明 ξ 属于开区间 (a, b)
由于 \( f(b) < 0 \) 且函数连续，存在 \( \delta_1 > 0 \) 使得在 \( (b - \delta_1, b] \) 上 \( f(x) < 0 \)，故 \( \xi < b \)。又因为 \( f(a) > 0 \)，显然 \( \xi > a \)。因此 \( \xi \in (a, b) \).
提示：利用连续函数的局部保号性，排除端点成为上确界的可能性。
步骤 4/5
目标：反证法证明 f(ξ) = 0
假设 \( f(\xi) > 0 \)，由连续性，存在 \( \delta_2 > 0 \) 使得在 \( (\xi - \delta_2, \xi + \delta_2) \) 上 \( f(x) > 0 \)，则 \( \xi + \frac{\delta_2}{2} \in S \)，与 \( \xi \) 是上确界矛盾。假设 \( f(\xi) < 0 \)，由连续性，存在 \( \delta_3 > 0 \) 使得在 \( (\xi - \delta_3, \xi + \delta_3) \) 上 \( f(x) < 0 \)，则 \( \xi - \frac{\delta_3}{2} \) 也是 \( S \) 的一个上界且小于 \( \xi \)，与上确界定义矛盾。因此只能 \( f(\xi) = 0 \).
提示：反证法结合连续函数的局部保号性，注意上确界的定义：任何小于上确界的数都不是上界。
步骤 5/5
目标：得出结论
综上，存在 \( \xi \in (a, b) \) 使得 \( f(\xi) = 0 \)，证毕。
提示：该结论即为连续函数的零点定理，是数学分析中的基本定理。
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