哈尔滨工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．若积分 $\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 至少有两个零点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入辅助函数F(x)
设 $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$，则 $F'(x) = f(x)$，且 $F(a)=0$。
公式：$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$
提示：注意F(x)是f(x)的原函数，且F(a)=0。
步骤 2/6
目标：利用分部积分处理已知条件
由已知 $\int_a^b x f(x) \, dx = 0$，使用分部积分：
\[
\int_a^b x f(x) \, dx = \left. x F(x) \right|_a^b - \int_a^b F(x) \, dx = bF(b) - aF(a) - \int_a^b F(x) \, dx = bF(b) - \int_a^b F(x) \, dx = 0.
\]
因此 $\int_a^b F(x) \, dx = bF(b)$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：分部积分时，令 $u=x$，$dv=f(x)dx$，则 $du=dx$，$v=F(x)$。注意 $aF(a)=0$。
步骤 3/6
目标：应用积分中值定理
由积分中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $\int_a^b F(x) \, dx = F(\xi)(b-a)$。结合上一步结果，得 $F(\xi)(b-a) = bF(b)$。
公式：$\int_a^b F(x) \, dx = F(\xi)(b-a)$
提示：积分中值定理要求F(x)连续，这里F(x)可导，故连续。
步骤 4/6
目标：分情况讨论：F(b)=0
若 $F(b)=0$，则 $F(\xi)=0$。又 $F(a)=0$，所以 $F(x)$ 在 $[a,\xi]$ 和 $[\xi,b]$ 上满足罗尔定理条件，存在 $c_1 \in (a,\xi)$，$c_2 \in (\xi,b)$ 使得 $F'(c_1)=f(c_1)=0$，$F'(c_2)=f(c_2)=0$，即至少两个零点。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $F'(c)=0$
提示：注意 $c_1$ 和 $c_2$ 不同，确保两个不同的零点。
步骤 5/6
目标：分情况讨论：F(b)≠0
若 $F(b) \neq 0$，则 $F(\xi) = \frac{b}{b-a}F(b) \neq 0$。考虑函数 $H(x) = \int_a^x t f(t) \, dt$，则 $H'(x)=x f(x)$，$H(a)=0$，且由已知 $H(b)=0$。由罗尔定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得 $H'(\eta)=\eta f(\eta)=0$，故 $f(\eta)=0$。
公式：$H(x) = \int_a^x t f(t) \, dt$
提示：注意 $H(b)=0$ 由已知条件直接得到。
步骤 6/6
目标：证明至少有两个零点（反证法）
假设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内只有一个零点 $\eta$，则 $x f(x)$ 在 $(a,b)$ 内不变号（因为 $x$ 不变号，$f(x)$ 在零点两侧同号），但 $\int_a^b x f(x) \, dx = 0$ 迫使 $x f(x)$ 必须变号，矛盾。因此 $f(x)$ 至少有两个零点。
公式：若连续函数不变号且积分值为0，则函数恒为0
提示：注意 $x$ 在 $(a,b)$ 内可能变号（若 $a<00$ 或 $b<0$ 以避免复杂情况。更严谨的证明可考虑 $f$ 的零点个数。
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