哈尔滨工程大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(\tan x)^{2}}\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：通分合并
将原极限表达式通分：
$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\tan^2 x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2 x - x^2}{x^2 \tan^2 x}.$$
提示：注意通分时不要遗漏分母的平方，且确保分子分母同时趋于0，为后续使用等价无穷小或洛必达法则创造条件。
步骤 2/6
目标：分解分子
将分子因式分解：
$$\tan^2 x - x^2 = (\tan x - x)(\tan x + x).$$
公式：平方差公式：$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
提示：分解后便于分别估计每个因子的等价无穷小。
步骤 3/6
目标：确定分母的等价无穷小
当 $x \to 0$ 时，$\tan x \sim x$，因此分母 $x^2 \tan^2 x \sim x^2 \cdot x^2 = x^4$。
公式：$\tan x \sim x$（$x \to 0$）
提示：注意等价无穷小替换时，分母整体替换，不能只替换一部分。
步骤 4/6
目标：确定分子的等价无穷小
当 $x \to 0$ 时，$\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$（因为 $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$），而 $\tan x + x \sim 2x$。因此分子 $(\tan x - x)(\tan x + x) \sim \frac{1}{3}x^3 \cdot 2x = \frac{2}{3}x^4$。
公式：$\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$（$x \to 0$）
提示：注意 $\tan x - x$ 的等价无穷小是 $\frac{1}{3}x^3$，而不是 $0$，需要记忆或推导。
步骤 5/6
目标：计算极限
利用等价无穷小替换，原极限化为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3}x^4}{x^4} = \frac{2}{3}.$$
提示：等价无穷小替换后，分子分母的 $x^4$ 约去，得到常数。注意替换的合法性：分子分母都是无穷小且等价关系成立。
步骤 6/6
目标：验证（泰勒展开法）
使用泰勒展开：$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$，则 $\tan^2 x = x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6)$。代入得：
$$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\tan^2 x} = \frac{\tan^2 x - x^2}{x^2 \tan^2 x} = \frac{\frac{2x^4}{3} + O(x^6)}{x^2 \left( x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6) \right)} = \frac{\frac{2}{3} + O(x^2)}{1 + \frac{2x^2}{3} + O(x^4)} \to \frac{2}{3}.$$
公式：$\tan x$ 的泰勒展开：$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$
提示：泰勒展开法更严谨，但计算稍复杂。注意展开到足够阶数，确保分子分母的最低次幂正确。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。