哈尔滨工程大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}$ 的玫散性，其中 $\displaystyle p, q$ 为实数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定使用积分判别法
由于通项 $a_n = \frac{1}{n(\ln n)^p(\ln \ln n)^q}$ 对于 $n \geq 3$ 非负且递减，考虑对应的广义积分 $\int_3^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^p(\ln \ln x)^q}$。级数收敛当且仅当该积分收敛。
公式：积分判别法：若 $f(x)$ 非负递减，则 $\sum_{n=N}^\infty f(n)$ 与 $\int_N^\infty f(x)dx$ 同敛散。
提示：注意验证 $f(x)$ 的递减性，对于 $x$ 足够大时成立。
步骤 2/5
目标：第一次变量代换：令 $u = \ln x$
令 $u = \ln x$，则 $du = \frac{dx}{x}$。当 $x=3$ 时 $u=\ln 3$，$x\to\infty$ 时 $u\to\infty$。积分化为 $\int_{\ln 3}^\infty \frac{du}{u^p (\ln u)^q}$。
公式：$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$
提示：注意积分限的变化，$\ln 3 > 0$。
步骤 3/5
目标：第二次变量代换：令 $t = \ln u$
令 $t = \ln u$，则 $dt = \frac{du}{u}$。当 $u=\ln 3$ 时 $t=\ln\ln 3$，$u\to\infty$ 时 $t\to\infty$。积分化为 $\int_{\ln\ln 3}^\infty \frac{dt}{e^{(p-1)t} t^q}$。
公式：$u = e^t$，$du = e^t dt$，$\frac{du}{u^p} = e^{t(1-p)} dt$
提示：注意指数变换的准确性，$u^p = e^{pt}$，因此 $\frac{du}{u^p} = e^{t(1-p)} dt$。
步骤 4/5
目标：分析积分收敛性：分情况讨论 $p$
考虑积分 $I = \int_{\ln\ln 3}^\infty e^{(1-p)t} t^{-q} dt$。
- 若 $p > 1$，则 $1-p < 0$，被积函数指数衰减，积分收敛（对任意 $q$）。
- 若 $p < 1$，则 $1-p > 0$，被积函数指数增长，积分发散（对任意 $q$）。
- 若 $p = 1$，则 $I = \int_{\ln\ln 3}^\infty t^{-q} dt$，收敛当且仅当 $q > 1$。
公式：$\int_a^\infty t^{-q} dt$ 收敛当且仅当 $q > 1$
提示：注意 $p=1$ 时指数项消失，化为 $p$-积分。
步骤 5/5
目标：总结级数敛散性结论
由积分判别法，原级数收敛当且仅当 $p > 1$，或 $p = 1$ 且 $q > 1$；否则发散。
提示：注意 $p=1$ 且 $q \leq 1$ 时发散，$p<1$ 时无论 $q$ 如何都发散。
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