哈尔滨工程大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，对 $\displaystyle \forall x, y \in R$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续．
（2）存在实数 $M$ ，使得 $\displaystyle |f(x)| \leq M|x|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：推导f(0)=0
令 $y=0$，由 $f(x+0)=f(x)+f(0)$ 得 $f(x)=f(x)+f(0)$，故 $f(0)=0$。
公式：f(x+0)=f(x)+f(0)
提示：注意函数方程对任意实数成立，可代入特殊值。
步骤 2/6
目标：证明f在任意点连续
对任意 $x_0 \in \mathbb{R}$，令 $h = x - x_0$，则 $f(x)=f(x_0+h)=f(x_0)+f(h)$。由于 $f$ 在 $x=0$ 连续，$\lim_{h\to 0}f(h)=f(0)=0$，故 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，即 $f$ 在 $x_0$ 连续。
公式：f(x_0+h)=f(x_0)+f(h)
提示：利用连续定义和函数方程将极限转化为已知点。
步骤 3/6
目标：利用连续性证明f在闭区间上有界
由（1）知 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，故在 $[-1,1]$ 上连续，从而有界：存在 $M_0>0$，使得 $\forall t\in[-1,1]$，$|f(t)|\leq M_0$。
提示：闭区间上连续函数必有界。
步骤 4/6
目标：证明f是有理数线性函数
先证 $f(nx)=nf(x)$ 对整数 $n$ 成立（数学归纳法）。再证 $f(rx)=rf(x)$ 对有理数 $r$ 成立：设 $r=\frac{p}{q}$，则 $q f(\frac{p}{q}x)=f(px)=p f(x)$，故 $f(\frac{p}{q}x)=\frac{p}{q}f(x)$。
公式：f(rx)=rf(x) 对有理数 r
提示：注意有理数定义及函数方程的可加性。
步骤 5/6
目标：利用连续性将有理数推广到实数
对任意实数 $x$，取有理数列 $r_n\to x$，由连续性：$f(x)=\lim_{n\to\infty}f(r_n)=\lim_{n\to\infty}r_n f(1)=x f(1)$。令 $c=f(1)$，则 $f(x)=c x$。
公式：f(x)=c x, c=f(1)
提示：连续性保证极限与函数可交换。
步骤 6/6
目标：得到绝对值不等式
由 $f(x)=c x$ 得 $|f(x)|=|c||x|$。取 $M=|c|$，则 $|f(x)|\leq M|x|$ 对一切 $x$ 成立。
公式：|f(x)|=|c||x|
提示：注意 $M$ 的取法。
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