哈尔滨工程大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5、求反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别反常积分并选择换元
注意到被积函数在 $x=1$ 处分母为零，且 $\ln x$ 在 $x=0$ 处发散，因此该积分为反常积分。选择换元 $x = \sin t$，因为 $\sqrt{1-x^2}$ 提示使用三角代换。
提示：换元时注意积分限的变化：$x=0$ 对应 $t=0$，$x=1$ 对应 $t=\frac{\pi}{2}$。
步骤 2/4
目标：进行换元并化简被积函数
令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t \, dt$，且 $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t$（在 $t \in [0, \pi/2]$ 上 $\cos t \ge 0$）。于是积分变为：
$$\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{1-x^{2}}} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\ln(\sin t)}{\cos t} \cdot \cos t \, dt = \int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin t) \, dt.$$
公式：$\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t$
提示：注意 $\cos t$ 在 $[0,\pi/2]$ 上非负，因此开方后直接取 $\cos t$，无需加绝对值。
步骤 3/4
目标：利用已知积分公式
已知经典积分公式：$\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin t) \, dt = -\frac{\pi}{2} \ln 2$。该公式可通过对称性 $\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin t) \, dt = \int_{0}^{\pi/2} \ln(\cos t) \, dt$ 以及和角公式推导得出。
公式：$\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin t) \, dt = -\frac{\pi}{2} \ln 2$
提示：如果忘记该公式，可以自行推导：令 $I = \int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin t) \, dt$，利用 $\sin(2t) = 2\sin t \cos t$ 得到 $I = -\frac{\pi}{2}\ln 2$。
步骤 4/4
目标：得出原积分结果
因此，原反常积分的值为：
$$\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{1-x^{2}}} \, dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2.$$
提示：注意结果中的负号，因为 $\ln x$ 在 $(0,1)$ 上为负，积分结果应为负值。
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