哈尔滨工程大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6、设 $\displaystyle u(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} A_{m n} \sin (m \pi x) \sin (n \pi y),\left(m, n \in \mathbb{N}_{+}\right)$满足： $\displaystyle u_{x x}^{\prime \prime}+u_{y y}^{\prime \prime}=x,(x, y) \in[0,1] \times[0,1]$ ，求 $\displaystyle A_{m n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：代入级数表达式到偏微分方程
将 $u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}A_{mn}\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$ 代入方程 $u_{xx}+u_{yy}=x$，计算二阶偏导数：$u_{xx}=-\sum_{m,n}A_{mn}(m\pi)^2\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$，$u_{yy}=-\sum_{m,n}A_{mn}(n\pi)^2\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$，相加得 $-\sum_{m,n}A_{mn}(m^2+n^2)\pi^2\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)=x$。
公式：$u_{xx}+u_{yy}=-\sum_{m,n}A_{mn}(m^2+n^2)\pi^2\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$
提示：注意求导时系数$(m\pi)^2$和$(n\pi)^2$，不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：将右端函数展开为双重傅里叶正弦级数
首先将 $x$ 在 $[0,1]$ 上展开为正弦级数：$x=\sum_{m=1}^{\infty}b_m\sin(m\pi x)$，其中 $b_m=2\int_0^1 x\sin(m\pi x)dx=\frac{2(-1)^{m+1}}{m\pi}$。然后将 $b_m$ 视为常数，再在 $[0,1]$ 上展开为正弦级数：$b_m=\sum_{n=1}^{\infty}c_{mn}\sin(n\pi y)$，其中 $c_{mn}=2\int_0^1 b_m\sin(n\pi y)dy=2b_m\int_0^1\sin(n\pi y)dy$。
公式：$b_m=2\int_0^1 x\sin(m\pi x)dx=\frac{2(-1)^{m+1}}{m\pi}$
提示：注意正弦级数展开的系数公式：$b_m=2\int_0^1 f(x)\sin(m\pi x)dx$。
步骤 3/5
目标：计算双重傅里叶系数
计算 $\int_0^1\sin(n\pi y)dy=\frac{1-(-1)^n}{n\pi}$，因此 $c_{mn}=2b_m\cdot\frac{1-(-1)^n}{n\pi}=\frac{4(-1)^{m+1}(1-(-1)^n)}{mn\pi^2}$。于是 $x=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{m+1}(1-(-1)^n)}{mn\pi^2}\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$。
公式：$c_{mn}=\frac{4(-1)^{m+1}(1-(-1)^n)}{mn\pi^2}$
提示：注意 $\int_0^1\sin(n\pi y)dy$ 当 $n$ 为偶数时为零，因此 $c_{mn}$ 仅当 $n$ 为奇数时非零。
步骤 4/5
目标：比较系数求解 $A_{mn}$
将双重傅里叶级数代入方程：$-\sum_{m,n}A_{mn}(m^2+n^2)\pi^2\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)=\sum_{m,n}\frac{4(-1)^{m+1}(1-(-1)^n)}{mn\pi^2}\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$。比较系数得 $-A_{mn}(m^2+n^2)\pi^2=\frac{4(-1)^{m+1}(1-(-1)^n)}{mn\pi^2}$，解得 $A_{mn}=-\frac{4(-1)^{m+1}(1-(-1)^n)}{mn\pi^4(m^2+n^2)}$。
公式：$A_{mn}=-\frac{4(-1)^{m+1}(1-(-1)^n)}{mn\pi^4(m^2+n^2)}$
提示：比较系数时注意左右两边正弦函数的系数对应相等。
步骤 5/5
目标：化简最终结果
当 $n$ 为偶数时，$1-(-1)^n=0$，故 $A_{mn}=0$；当 $n$ 为奇数时，$1-(-1)^n=2$，代入得 $A_{mn}=-\frac{8(-1)^{m+1}}{mn\pi^4(m^2+n^2)}$。因此最终答案为 $A_{mn}=\begin{cases} -\dfrac{8(-1)^{m+1}}{mn\pi^4(m^2+n^2)}, & n\text{ 为奇数} \\ 0, & n\text{ 为偶数} \end{cases}$。
公式：$A_{mn}=\begin{cases} -\dfrac{8(-1)^{m+1}}{mn\pi^4(m^2+n^2)}, & n\text{ 为奇数} \\ 0, & n\text{ 为偶数} \end{cases}$
提示：注意 $n$ 为偶数时系数为零，不要遗漏。
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