哈尔滨工程大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7、令函数 $f$ 为定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的连续函数，证明：对任意的 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{t}, \mathbf{u} \in \mathbf{R}^{+}$，有
$$
\int_{0}^{x} \mathrm{~d} v \int_{0}^{v} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \int_{0}^{x}(x-t)^{2} f(t) \mathrm{d} t
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出三重积分表达式
题目要求证明：
\[
\int_{0}^{x} \mathrm{d}v \int_{0}^{v} \mathrm{d}u \int_{0}^{u} f(t) \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_{0}^{x} (x-t)^2 f(t) \mathrm{d}t.
\]
左边是一个三重积分，积分变量依次为 $v, u, t$，积分区域由不等式 $0 \le t \le u \le v \le x$ 描述。
提示：注意积分次序：先对 $t$ 积分，再对 $u$，最后对 $v$。
步骤 2/6
目标：交换积分次序
为了简化计算，交换积分次序，先对 $v$ 和 $u$ 积分，再对 $t$ 积分。固定 $t$，则 $u$ 从 $t$ 到 $x$，$v$ 从 $u$ 到 $x$，因此
\[
I = \int_{0}^{x} \mathrm{d}t \int_{t}^{x} \mathrm{d}u \int_{u}^{x} f(t) \mathrm{d}v.
\]
公式：积分区域变换：$0 \le t \le u \le v \le x$ 等价于 $0 \le t \le x$, $t \le u \le x$, $u \le v \le x$。
提示：交换次序时，要正确确定新积分限，避免积分区域错误。
步骤 3/6
目标：计算最内层积分
由于 $f(t)$ 与 $v$ 无关，最内层积分可直接计算：
\[
\int_{u}^{x} f(t) \mathrm{d}v = f(t)(x-u).
\]
公式：$\int_{a}^{b} c \, \mathrm{d}x = c(b-a)$
提示：注意 $f(t)$ 是常数相对于 $v$。
步骤 4/6
目标：化简为二重积分
代入后得到
\[
I = \int_{0}^{x} f(t) \left( \int_{t}^{x} (x-u) \mathrm{d}u \right) \mathrm{d}t.
\]
提示：将 $f(t)$ 提出内层积分，因为 $f(t)$ 与 $u$ 无关。
步骤 5/6
目标：计算内层积分
计算关于 $u$ 的积分：
\[
\int_{t}^{x} (x-u) \mathrm{d}u = \left[ -\frac{(x-u)^2}{2} \right]_{u=t}^{u=x} = \frac{(x-t)^2}{2}.
\]
公式：$\int (x-u) \mathrm{d}u = -\frac{(x-u)^2}{2}$
提示：注意积分限代入时，$u=x$ 时 $(x-u)^2=0$，$u=t$ 时 $(x-u)^2=(x-t)^2$，相减得 $\frac{(x-t)^2}{2}$。
步骤 6/6
目标：得到最终结果
代入得
\[
I = \int_{0}^{x} f(t) \cdot \frac{(x-t)^2}{2} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_{0}^{x} (x-t)^2 f(t) \mathrm{d}t.
\]
证毕。
提示：最终结果与题目右边一致。
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