哈尔滨工程大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8、求 $\displaystyle f(x, y)=\left(x^{2}+2 y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 上的最大值和最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定极值存在性
函数 $f(x,y) = (x^2+2y^2)e^{-(x^2+y^2)}$ 在闭区域 $D = \{ (x,y): x^2+y^2 \leq 4 \}$ 上连续，因此最大值和最小值存在。可能取得极值的点包括内部驻点和边界上的点。
提示：闭区域上连续函数必有最值，但需注意内部驻点和边界都要考虑。
步骤 2/7
目标：求内部驻点
求偏导数并令其为零：
$$f_x = 2x e^{-(x^2+y^2)} + (x^2+2y^2) e^{-(x^2+y^2)} (-2x) = 2x e^{-(x^2+y^2)} [1 - (x^2+2y^2)] = 0,$$
$$f_y = 4y e^{-(x^2+y^2)} + (x^2+2y^2) e^{-(x^2+y^2)} (-2y) = 2y e^{-(x^2+y^2)} [2 - (x^2+2y^2)] = 0.$$
由 $f_x=0$ 得 $x=0$ 或 $x^2+2y^2=1$；由 $f_y=0$ 得 $y=0$ 或 $x^2+2y^2=2$。
公式：偏导数公式
提示：注意 $e^{-(x^2+y^2)}$ 因子不为零，可约去。
步骤 3/7
目标：解方程组得驻点
分情况讨论：
- 若 $x=0$，则 $f_y=0$ 给出 $y=0$ 或 $2y^2=2$ 即 $y=\pm1$，得点 $(0,0)$ 和 $(0,\pm1)$。
- 若 $y=0$，则 $f_x=0$ 给出 $x=0$ 或 $x^2=1$ 即 $x=\pm1$，得点 $(0,0)$ 和 $(\pm1,0)$。
- 若 $x^2+2y^2=1$ 且 $x^2+2y^2=2$，不可能同时成立。
- 其他组合已包含。
因此内部驻点为 $(0,0)$, $(\pm1,0)$, $(0,\pm1)$。
提示：注意不要遗漏组合情况，且 $(0,0)$ 重复出现。
步骤 4/7
目标：计算内部驻点函数值
计算各点函数值：
$$f(0,0)=0,$$
$$f(\pm1,0) = (1+0)e^{-1} = e^{-1},$$
$$f(0,\pm1) = (0+2)e^{-1} = 2e^{-1}.$$
提示：代入时注意指数部分 $e^{-(x^2+y^2)}$ 的计算。
步骤 5/7
目标：处理边界条件
边界为 $x^2+y^2=4$。采用参数化：令 $x=2\cos\theta$, $y=2\sin\theta$，则
$$f = (4\cos^2\theta + 8\sin^2\theta) e^{-4} = 4(\cos^2\theta + 2\sin^2\theta) e^{-4} = 4(1+\sin^2\theta) e^{-4}.$$
由于 $0 \leq \sin^2\theta \leq 1$，所以 $f$ 在边界上的取值范围为 $[4e^{-4}, 8e^{-4}]$。
公式：参数化公式
提示：注意 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 的恒等变形，避免计算错误。
步骤 6/7
目标：比较所有可能极值
内部驻点值：$0$, $e^{-1}$, $2e^{-1}$；边界值：$4e^{-4}$ 到 $8e^{-4}$。
比较大小：$e^{-1} \approx 0.3679$, $2e^{-1} \approx 0.7358$, $4e^{-4} \approx 0.0733$, $8e^{-4} \approx 0.1465$。
因此最大值为 $2e^{-1}$，最小值为 $0$。
提示：注意数值比较，确保边界值小于内部最大值。
步骤 7/7
目标：给出最终答案
函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值为 $2e^{-1}$，最小值为 $0$。
提示：答案需明确写出最大值和最小值。
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