四川大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．（12 分）计算
$$
\int_{L}(x-y) \mathrm{d} x+z^{3} \mathrm{~d} z
$$
其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle z=c(|c|<1)$ 的交线，从 $z$ 轴的正向往负向看去是逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析曲线特征
曲线 $L$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $z=c$（$|c|<1$）的交线，即半径为 $\sqrt{1-c^2}$ 的圆，位于平面 $z=c$ 上。从 $z$ 轴正向往负向看去是逆时针方向，即从上往下看逆时针。
提示：注意 $|c|<1$ 保证圆存在；方向定义要明确。
步骤 2/7
目标：简化被积表达式
由于曲线在平面 $z=c$ 上，$z$ 为常数，故 $\mathrm{d}z=0$。积分简化为：
$$
\int_L (x-y) \,\mathrm{d}x + z^3 \,\mathrm{d}z = \int_L (x-y) \,\mathrm{d}x.
$$
公式：若 $z$ 为常数，则 $\mathrm{d}z=0$
提示：不要忘记 $\mathrm{d}z=0$ 这一关键简化。
步骤 3/7
目标：参数化曲线
令参数化：
$$
x = \sqrt{1-c^2} \cos\theta, \quad y = \sqrt{1-c^2} \sin\theta, \quad z = c,
$$
其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。逆时针方向对应 $\theta$ 增加（从 $z$ 轴正向看）。
公式：圆的参数方程：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$
提示：确保参数方向与题目要求的逆时针一致。
步骤 4/7
目标：计算微分
对 $x$ 求微分：
$$
\mathrm{d}x = -\sqrt{1-c^2} \sin\theta \,\mathrm{d}\theta.
$$
公式：$\mathrm{d}(\cos\theta) = -\sin\theta \,\mathrm{d}\theta$
提示：注意负号。
步骤 5/7
目标：代入积分并化简
代入积分：
$$
\begin{aligned}
\int_L (x-y) \,\mathrm{d}x &= \int_0^{2\pi} \left( \sqrt{1-c^2} \cos\theta - \sqrt{1-c^2} \sin\theta \right) \cdot \left( -\sqrt{1-c^2} \sin\theta \right) \,\mathrm{d}\theta \\
&= - (1-c^2) \int_0^{2\pi} (\cos\theta - \sin\theta) \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \\
&= - (1-c^2) \int_0^{2\pi} (\cos\theta \sin\theta - \sin^2\theta) \,\mathrm{d}\theta.
\end{aligned}
$$
提示：注意提取公因子 $\sqrt{1-c^2}$ 并平方。
步骤 6/7
目标：计算三角函数积分
计算两个积分：
$$
\int_0^{2\pi} \cos\theta \sin\theta \,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \sin 2\theta \,\mathrm{d}\theta = 0,
$$
$$
\int_0^{2\pi} \sin^2\theta \,\mathrm{d}\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1-\cos 2\theta}{2} \,\mathrm{d}\theta = \pi.
$$
公式：$\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$，$\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$
提示：注意 $\sin^2\theta$ 在一个周期内的积分是 $\pi$。
步骤 7/7
目标：得出结果
因此：
$$
\int_L (x-y) \,\mathrm{d}x = - (1-c^2) (0 - \pi) = \pi (1-c^2).
$$
原积分即为 $\pi (1-c^2)$。
提示：检查符号：负负得正。
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