📝 四川大学 2026年数学分析真题
第1题
1．（16 分）求极限：
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\ln (n+\pi)-\ln n}-\frac{n}{\pi}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(x-t)(1-\cos \sqrt{t}) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} \tan ^{4} t \sec t \mathrm{~d} t}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\ln (n+\pi)-\ln n}-\frac{n}{\pi}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(x-t)(1-\cos \sqrt{t}) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} \tan ^{4} t \sec t \mathrm{~d} t}$ ．
第2题
2．（12 分）计算 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\pi} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
第3题
3．（12 分）要做一个容器为 $\displaystyle 1 \mathrm{~m}^{3}$ 的无盖铝圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？
第4题
4．（12 分）计算
$$
\int_{L}(x-y) \mathrm{d} x+z^{3} \mathrm{~d} z
$$
其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle z=c(|c|<1)$ 的交线，从 $z$ 轴的正向往负向看去是逆时针方向．
$$
\int_{L}(x-y) \mathrm{d} x+z^{3} \mathrm{~d} z
$$
其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle z=c(|c|<1)$ 的交线，从 $z$ 轴的正向往负向看去是逆时针方向．
第5题
5．（12 分）计算
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$
其中 $\displaystyle \Sigma: 1-\frac{z}{3}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16}(z \geq 0)$ ，方向取上侧．
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$
其中 $\displaystyle \Sigma: 1-\frac{z}{3}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16}(z \geq 0)$ ，方向取上侧．
第6题
6．（13 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+3}}{(n+1)(n+3)}$ 的收敛域与和函数．
第7题
7．（13 分）判断积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{3} \sin \left(x^{q}\right) \mathrm{d} x(q \neq 0)$ 的敛散性（包括绝对收敛，条件收敛和发散）。
第8题
8．（12 分）证明：方程 $\displaystyle e^{x}=x^{2}+5 x+1$ 的实根不超过 3 个．
第9题
9．（12 分）设 $\displaystyle f:[0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=a \in(0,+\infty)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} f(x)$存在且为正．
第10题
10．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意固定的 $\displaystyle x \in[0,+\infty)$ ，当自然数 $\displaystyle n \rightarrow+\infty$ 时，有 $\displaystyle f(x+n) \rightarrow 0$ ．证明：函数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 0 ．
第11题
11．（14分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 . g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．证明：$\displaystyle f(x, y) g(x, y)$在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle \mathrm{d}(f g)\left(x_{0}, y_{0}\right)=g\left(x_{0}, y_{0}\right) \mathrm{d} f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
第12题
12．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上非负且严格单调增加的连续函数．证明：对任意的正整数 $n$ ，存在唯一的 $\displaystyle x_{n} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)^{n}=\int_{0}^{1}(f(x))^{n} \mathrm{~d} x$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．