四川大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．（16 分）求极限：
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\ln (n+\pi)-\ln n}-\frac{n}{\pi}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(x-t)(1-\cos \sqrt{t}) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} \tan ^{4} t \sec t \mathrm{~d} t}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简对数差
首先化简分母：$\ln(n+\pi)-\ln n = \ln\left(1+\frac{\pi}{n}\right)$。
公式：$\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$
提示：注意对数差不能直接拆开，要合并为一个对数。
步骤 2/7
目标：展开对数并取倒数
当 $n\to\infty$ 时，$\ln\left(1+\frac{\pi}{n}\right) \sim \frac{\pi}{n} - \frac{\pi^2}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$。因此
$$
\frac{1}{\ln(n+\pi)-\ln n} = \frac{1}{\frac{\pi}{n} - \frac{\pi^2}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)} = \frac{n}{\pi} \cdot \frac{1}{1 - \frac{\pi}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)}.
$$
公式：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
提示：展开时注意保留足够阶数，确保后续相减后常数项正确。
步骤 3/7
目标：展开倒数并相减
利用 $\frac{1}{1-\varepsilon} = 1+\varepsilon+O(\varepsilon^2)$，得
$$
\frac{n}{\pi}\left(1 + \frac{\pi}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) = \frac{n}{\pi} + \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right).
$$
因此
$$
\frac{1}{\ln(n+\pi)-\ln n} - \frac{n}{\pi} = \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right) \to \frac{1}{2} \quad (n\to\infty).
$$
公式：$\frac{1}{1-x} = 1+x+O(x^2)$
提示：注意 $O\left(\frac{1}{n}\right)$ 项趋于0，极限为常数。
步骤 4/7
目标：变量代换化简分子
令 $u = \sqrt{t}$，则 $t = u^2$，$\mathrm{d}t = 2u\,\mathrm{d}u$，积分限 $t:0\to x^2$ 对应 $u:0\to x$。分子化为
$$
\int_{0}^{x^2} (x-t)(1-\cos\sqrt{t})\,\mathrm{d}t = 2\int_{0}^{x} u(x-u^2)(1-\cos u)\,\mathrm{d}u.
$$
公式：变量代换：$\int_{a}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{u(a)}^{u(b)} f(t(u))\,t'(u)\,\mathrm{d}u$
提示：注意 $\mathrm{d}t = 2u\,\mathrm{d}u$，不要漏掉因子2。
步骤 5/7
目标：等价无穷小替换分子
当 $u\to 0$ 时，$1-\cos u \sim \frac{u^2}{2}$。因此分子等价于
$$
2\int_{0}^{x} u(x-u^2)\cdot\frac{u^2}{2}\,\mathrm{d}u = \int_{0}^{x} u^3(x-u^2)\,\mathrm{d}u = \int_{0}^{x} (x u^3 - u^5)\,\mathrm{d}u = \left[\frac{x u^4}{4} - \frac{u^6}{6}\right]_{0}^{x} = \frac{x^5}{4} - \frac{x^6}{6}.
$$
公式：$1-\cos u \sim \frac{u^2}{2}$
提示：等价无穷小替换只能在乘除因子中使用，此处被积函数整体替换后积分。
步骤 6/7
目标：等价无穷小替换分母
当 $t\to 0$ 时，$\tan t \sim t$，$\sec t \sim 1$，因此 $\tan^4 t \sec t \sim t^4$。分母等价于
$$
\int_{0}^{x} t^4\,\mathrm{d}t = \frac{x^5}{5}.
$$
公式：$\tan t \sim t$，$\sec t \sim 1$
提示：注意 $\tan^4 t \sec t$ 的等价无穷小是 $t^4$，因为 $\sec t \to 1$。
步骤 7/7
目标：求极限
因此原极限
$$
\lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{x^5}{4} - \frac{x^6}{6}}{\frac{x^5}{5}} = \lim_{x\to 0^+} \frac{5}{4} - \frac{5x}{6} = \frac{5}{4}.
$$
公式：极限的线性性质
提示：分子分母同除以 $x^5$ 后，$x^6$ 项趋于0。
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