四川大学 2026年数学分析第2题

考虑积分区间 $[0, \pi]$ 的对称性。令 $t = \pi - x$，则 $\cos(\pi - t) = -\cos t$，且 $dx = -dt$。于是 \[ \int_{\pi/2}^{\pi} \cos^n x \, dx = \int_{\pi/2}^{0} \cos^n(\pi - t) (-dt) = \int_{0}^{\pi/2} (-\cos t)^n \, dt. \] 当 $n$ 为奇数时，$(-\cos t)^n = -\cos^n t$，因此 \[ \int_{\pi/2}^{\pi} \cos^n x \, dx = -\int_{0}^{\pi/2} \cos^n t \, dt. \] 而 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^n x \, dx$ 与 $\int_{\pi/2}^{\pi} \cos^n x \, dx$ 互为相反数，故 $I_n = 0$。

当 $n$ 为偶数时，考虑 $I_n = \int_0^\pi \cos^n x \, dx$。令 $u = \cos^{n-1} x$，$dv = \cos x \, dx$，则 $du = -(n-1)\cos^{n-2} x \sin x \, dx$，$v = \sin x$。分部积分得： \[ I_n = \left[ \cos^{n-1} x \sin x \right]_0^\pi - \int_0^\pi \sin x \cdot [-(n-1)\cos^{n-2} x \sin x] \, dx. \] 由于 $\sin 0 = \sin \pi = 0$，第一项为0，故 \[ I_n = (n-1) \int_0^\pi \cos^{n-2} x \sin^2 x \, dx. \] 利用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，得 \[ I_n = (n-1) \int_0^\pi \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x) \, dx = (n-1)(I_{n-2} - I_n). \]

由 $I_n = (n-1)(I_{n-2} - I_n)$ 展开得： \[ I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n. \] 移项合并： \[ I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_{n-2} \quad \Rightarrow \quad n I_n = (n-1) I_{n-2}. \] 因此递推公式为： \[ I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}. \]

计算 $I_0$ 和 $I_1$： \[ I_0 = \int_0^\pi 1 \, dx = \pi. \] \[ I_1 = \int_0^\pi \cos x \, dx = \sin x \big|_0^\pi = 0 - 0 = 0. \] $I_1 = 0$ 与奇数情况结论一致。对于偶数 $n$，只需从 $I_0$ 开始递推。

设 $n = 2k$（$k \in \mathbb{N}$），递推公式为： \[ I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} I_{2k-2}. \] 连续应用递推： \[ I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k-3}{2k-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot I_0. \] 代入 $I_0 = \pi$，得 \[ I_{2k} = \pi \cdot \frac{(2k-1)(2k-3)\cdots 1}{(2k)(2k-2)\cdots 2}. \] 分母 $(2k)(2k-2)\cdots 2 = 2^k k!$，分子 $(2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^k k!}$，因此 \[ I_{2k} = \pi \cdot \frac{(2k)!/(2^k k!)}{2^k k!} = \pi \cdot \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2}. \]

综合奇偶情况，得到最终表达式： \[ I_n = \begin{cases} 0, & n \text{为奇数} \\[5pt] \displaystyle \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} \pi, & n = 2k, \, k \in \mathbb{N} \end{cases} \] 其中 $\mathbb{N}$ 包含0（$k=0$ 时 $I_0 = \pi$ 也符合公式）。