四川大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．（12 分）要做一个容器为 $\displaystyle 1 \mathrm{~m}^{3}$ 的无盖铝圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立数学模型
设圆桶底面半径为 $r$（单位：m），高为 $h$（单位：m）。体积为 $V = \pi r^2 h = 1$，所以 $h = \frac{1}{\pi r^2}$。无盖圆桶的表面积（用料）为 $S = \pi r^2 + 2\pi r h = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2}{r}$。问题转化为求 $S(r) = \pi r^2 + \frac{2}{r}$ 在 $r>0$ 时的最小值。
公式：V = \pi r^2 h, S = \pi r^2 + 2\pi r h
提示：注意无盖圆桶只有底面和一个侧面，表面积公式不要遗漏或重复。
步骤 2/6
目标：求导数
对 $S(r) = \pi r^2 + \frac{2}{r}$ 求导，得 $S'(r) = 2\pi r - \frac{2}{r^2}$。
公式：S'(r) = 2\pi r - \frac{2}{r^2}
提示：求导时注意 $\frac{2}{r}$ 的导数是 $-\frac{2}{r^2}$，符号不要弄错。
步骤 3/6
目标：求驻点
令 $S'(r)=0$，得 $2\pi r = \frac{2}{r^2}$，即 $\pi r^3 = 1$，解得 $r = \sqrt[3]{\frac{1}{\pi}}$。
公式：\pi r^3 = 1
提示：解方程时注意两边同乘 $r^2$，不要遗漏系数。
步骤 4/6
目标：计算对应高度
由 $h = \frac{1}{\pi r^2}$，代入 $r = \sqrt[3]{\frac{1}{\pi}}$，得 $h = \frac{1}{\pi \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\pi}}\right)^2} = \frac{1}{\pi \cdot \pi^{-2/3}} = \pi^{-1/3} = \sqrt[3]{\frac{1}{\pi}}$。因此 $r = h$。
公式：h = \frac{1}{\pi r^2}
提示：指数运算要仔细，$\pi^{-2/3}$ 是 $\pi$ 的负三分之二次方。
步骤 5/6
目标：判断极值类型
求二阶导数 $S''(r) = 2\pi + \frac{4}{r^3}$，由于 $r>0$，$S''(r) > 0$，所以该点为极小值点，也是最小值点。
公式：S''(r) = 2\pi + \frac{4}{r^3}
提示：二阶导数大于0说明是极小值，注意与极大值区分。
步骤 6/6
目标：得出结论
所以当底面半径和高相等，均为 $\sqrt[3]{\frac{1}{\pi}}$ 米时，用料最省。
提示：最终答案要明确写出尺寸，并注意单位。
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