四川大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9．（12 分）设 $\displaystyle f:[0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=a \in(0,+\infty)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} f(x)$存在且为正．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入辅助函数并分析其性质
设 $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$，则 $F'(x)=f(x)\geq 0$，故 $F(x)$ 单调递增且非负。由条件 $\lim_{x\to+\infty} f(x)F(x)=a>0$，可知 $\lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty$，否则若 $F(x)$ 有界，则 $f(x)F(x)\to 0$，矛盾。
公式：F(x)=\int_0^x f(t)\,dt, \quad F'(x)=f(x)
提示：注意 $f(x)\geq 0$ 保证 $F(x)$ 单调递增；反证法证明 $F(x)\to+\infty$。
步骤 2/5
目标：利用导数关系建立微分形式
考虑 $\frac{d}{dx}[F(x)^2]=2f(x)F(x)$，由条件知 $\lim_{x\to+\infty}\frac{d}{dx}[F(x)^2]=2a$。
公式：\frac{d}{dx}[F(x)^2]=2f(x)F(x)
提示：注意链式法则的正确应用。
步骤 3/5
目标：应用洛必达法则求极限
由于 $F(x)\to+\infty$，$x\to+\infty$，且 $\frac{d}{dx}[F(x)^2]$ 极限存在，由洛必达法则：
$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)^2}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2f(x)F(x)}{1}=2a.
$$
因此 $F(x)\sim \sqrt{2ax}$ 当 $x\to+\infty$。
公式：\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)^2}{x}=2a
提示：洛必达法则要求分子分母均趋于无穷大，且导数极限存在，这里满足条件。
步骤 4/5
目标：利用渐近关系表达 f(x)
由 $f(x)=\frac{f(x)F(x)}{F(x)}$，分子极限为 $a$，分母 $F(x)\sim\sqrt{2ax}$，故
$$
f(x)\sim\frac{a}{\sqrt{2ax}}=\sqrt{\frac{a}{2x}}.
$$
公式：f(x)\sim\frac{a}{\sqrt{2ax}}
提示：注意渐近替换的合理性，需确保分母不为零。
步骤 5/5
目标：计算所求极限
因此
$$
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{a}{2x}}=\sqrt{\frac{a}{2}}>0.
$$
公式：\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}f(x)=\sqrt{\frac{a}{2}}
提示：注意极限值为正，与题目要求一致。
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