四川大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．（12 分）证明：方程 $\displaystyle e^{x}=x^{2}+5 x+1$ 的实根不超过 3 个．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造函数并求导
令 $f(x)=e^x - x^2 - 5x - 1$，则方程 $e^x = x^2 + 5x + 1$ 的实根个数等于 $f(x)$ 的零点个数。求导得 $f'(x)=e^x - 2x - 5$，$f''(x)=e^x - 2$。
公式：f(x)=e^x - x^2 - 5x - 1
提示：注意求导时不要漏掉常数项。
步骤 2/6
目标：分析二阶导数符号，确定一阶导数单调性
令 $f''(x)=0$ 得 $x=\ln 2$。当 $x<\ln 2$ 时 $f''(x)<0$，$f'(x)$ 单调递减；当 $x>\ln 2$ 时 $f''(x)>0$，$f'(x)$ 单调递增。因此 $f'(x)$ 在 $x=\ln 2$ 处取得最小值 $f'(\ln 2)=2-2\ln 2-5=-3-2\ln 2<0$。
公式：f''(x)=e^x-2
提示：注意 $\ln 2$ 约等于0.693，计算最小值时确保符号正确。
步骤 3/6
目标：分析一阶导数极限，确定其零点个数
计算极限：$\lim_{x\to -\infty}f'(x)=+\infty$（因为 $e^x\to 0$，$-2x\to +\infty$），$\lim_{x\to +\infty}f'(x)=+\infty$（因为 $e^x$ 增长更快）。结合 $f'(\ln 2)<0$，由连续函数介值定理，$f'(x)=0$ 有两个实根，设为 $x_1
提示：注意极限的符号：当 $x\to -\infty$ 时，$-2x$ 趋于正无穷，所以 $f'(x)$ 趋于正无穷。
步骤 4/6
目标：分析原函数的单调区间
由 $f'(x)$ 的符号：在 $(-\infty,x_1)$ 上 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；在 $(x_1,x_2)$ 上 $f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；在 $(x_2,+\infty)$ 上 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。因此 $f(x)$ 至多有三个零点。
提示：注意单调区间由 $f'(x)$ 的符号决定，不要混淆。
步骤 5/6
目标：验证零点存在性
计算特殊点函数值：$f(-\infty)=-\infty$，$f(0)=0$，$f(1)=e-7<0$，$f(2)=e^2-15<0$，$f(3)=e^3-25>0$。由连续函数介值定理，$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 内有一个零点（但 $x=0$ 已是零点），在 $(1,2)$ 内有一个零点，在 $(2,3)$ 内有一个零点。因此 $f(x)$ 有三个零点。
提示：注意 $e\approx 2.718$，$e^2\approx 7.389$，$e^3\approx 20.085$，计算时确保数值正确。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $f(x)$ 至多有三个零点，且已找到三个零点，所以方程 $e^x=x^2+5x+1$ 的实根不超过 3 个。
提示：注意结论是“不超过3个”，即最多3个，这里恰好有3个。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。