四川大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．（13 分）判断积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{3} \sin \left(x^{q}\right) \mathrm{d} x(q \neq 0)$ 的敛散性（包括绝对收敛，条件收敛和发散）。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换，将积分化为标准形式
令 $t = x^q$，则 $x = t^{1/q}$，$dx = \frac{1}{q} t^{1/q - 1} dt$。于是 $x^3 dx = t^{3/q} \cdot \frac{1}{q} t^{1/q - 1} dt = \frac{1}{q} t^{4/q - 1} dt$。积分变为 $\int_1^{+\infty} x^3 \sin(x^q) dx = \frac{1}{q} \int_1^{+\infty} t^{4/q - 1} \sin t \, dt$，其中 $q > 0$ 时积分限不变；$q < 0$ 时需另作处理。
公式：\int_1^{+\infty} x^3 \sin(x^q) dx = \frac{1}{q} \int_1^{+\infty} t^{\frac{4}{q} - 1} \sin t \, dt \quad (q > 0)
提示：注意 $q$ 的正负会影响积分限的方向，此处先处理 $q>0$ 的情况，$q<0$ 需单独分析。
步骤 2/5
目标：分析 $q>0$ 时积分的条件收敛性
考虑积分 $\int_1^{+\infty} t^{\alpha} \sin t \, dt$，其中 $\alpha = \frac{4}{q} - 1$。由 Dirichlet 判别法：当 $\alpha < 0$ 时，$t^{\alpha}$ 单调递减趋于 0，$\int_1^A \sin t \, dt$ 有界，故积分条件收敛。$\alpha < 0$ 即 $\frac{4}{q} - 1 < 0 \Rightarrow q > 4$。当 $\alpha \ge 0$ 时，$t^{\alpha}$ 不衰减或增长，积分发散。
公式：\alpha = \frac{4}{q} - 1, \quad \text{条件收敛当且仅当 } \alpha < 0 \iff q > 4
提示：Dirichlet 判别法要求被积函数为单调趋于 0 的因子与有界振荡因子的乘积。
步骤 3/5
目标：分析 $q>0$ 时的绝对收敛性
考虑绝对收敛性：$\int_1^{+\infty} |t^{\alpha} \sin t| \, dt$。由于 $|\sin t|$ 的平均值为 $2/\pi$，该积分渐近等价于 $\frac{2}{\pi} \int_1^{+\infty} t^{\alpha} \, dt$ 的收敛性，这要求 $\alpha < -1$，即 $\frac{4}{q} - 1 < -1 \Rightarrow \frac{4}{q} < 0$，对 $q>0$ 不可能。故对任何 $q>0$，积分均非绝对收敛。
公式：\int_1^{+\infty} |t^{\alpha} \sin t| \, dt \sim \frac{2}{\pi} \int_1^{+\infty} t^{\alpha} \, dt \quad (\text{发散当 } \alpha \ge -1)
提示：绝对收敛要求被积函数的绝对值可积，此处 $\alpha \ge -1$ 时发散，而 $\alpha < -1$ 对 $q>0$ 无解。
步骤 4/5
目标：分析 $q<0$ 时积分的敛散性
令 $q = -p$，$p>0$，则 $x^3 \sin(x^{-p})$。当 $x \to +\infty$ 时，$x^{-p} \to 0$，$\sin(x^{-p}) \sim x^{-p}$，故被积函数 $\sim x^{3-p}$。积分 $\int_1^{+\infty} x^{3-p} \, dx$ 收敛当且仅当 $3-p < -1 \iff p > 4$，此时函数不变号且绝对可积，故绝对收敛。当 $0 < p \le 4$ 时，幂次不够低，积分发散。
公式：x^3 \sin(x^{-p}) \sim x^{3-p} \quad (x \to +\infty), \quad \text{收敛当且仅当 } p > 4 \iff q < -4
提示：注意 $q<0$ 时，$x \to +\infty$ 导致 $x^q \to 0$，利用等价无穷小简化。
步骤 5/5
目标：综合结论
综合以上分析：
- 当 $q > 4$ 时，积分条件收敛；
- 当 $0 < q \le 4$ 时，积分发散；
- 当 $q < -4$ 时，积分绝对收敛；
- 当 $-4 \le q < 0$ 时，积分发散。
注意 $q=0$ 被题目排除。
公式：\text{结论：} \begin{cases} q > 4 & \text{条件收敛} \\ 0 < q \le 4 & \text{发散} \\ q < -4 & \text{绝对收敛} \\ -4 \le q < 0 & \text{发散} \end{cases}
提示：注意 $q$ 的正负导致不同的分析方法，$q>4$ 和 $q<-4$ 是收敛的临界值。
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