四川大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．（13 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+3}}{(n+1)(n+3)}$ 的收敛域与和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求收敛半径
幂级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+3}}{(n+1)(n+3)}$。令 $a_n = \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+3)}$，则级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+3}$。使用比值法求收敛半径：
$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{(n+2)(n+4)} \cdot \frac{(n+1)(n+3)}{(-1)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)(n+4)} = 1.$$
所以收敛半径 $R=1$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$$
提示：注意 $a_n$ 是系数，不要漏掉 $(-1)^n$ 的符号，但求绝对值时符号消失。
步骤 2/7
目标：判断端点收敛性
考虑端点 $x = \pm 1$：
- 当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+3)}$。由于 $\frac{1}{(n+1)(n+3)} \sim \frac{1}{n^2}$，且 $(-1)^n$ 交错，级数绝对收敛，故收敛。
- 当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (-1)^{n+3}}{(n+1)(n+3)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-1}{(n+1)(n+3)}$，由于 $\frac{1}{(n+1)(n+3)} \sim \frac{1}{n^2}$，级数绝对收敛，故收敛。
因此收敛域为 $[-1, 1]$。
提示：注意 $x=-1$ 时，$(-1)^{n+3}=(-1)^n \cdot (-1)^3 = -(-1)^n$，与 $(-1)^n$ 相乘得 $-1$。
步骤 3/7
目标：设和函数并求导
设 $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+3}}{(n+1)(n+3)}$，$x \in [-1,1]$。逐项求导得：
$$S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(n+3)x^{n+2}}{(n+1)(n+3)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+2}}{n+1} = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n+1}.$$
令 $g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n+1}$，则 $S'(x) = x^2 g(x)$。
公式：$$S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+2}}{n+1}$$
提示：逐项求导时注意指数变化，$x^{n+3}$ 导数为 $(n+3)x^{n+2}$，与分母 $(n+3)$ 约简。
步骤 4/7
目标：利用积分表示求g(x)
注意到 $\frac{1}{n+1} = \int_0^1 t^n dt$，所以
$$g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \int_0^1 t^n dt = \int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (xt)^n dt = \int_0^1 \frac{1}{1+xt} dt = \frac{\ln(1+x)}{x}.$$
这里要求 $x \neq 0$，且 $|x| \leq 1$。当 $x=0$ 时，$g(0)=1$（由级数直接得）。
公式：$$\frac{1}{n+1} = \int_0^1 t^n dt$$
提示：积分与求和交换次序需验证一致收敛性，此处幂级数在闭区间上一致收敛。
步骤 5/7
目标：得到S'(x)的表达式
将 $g(x)$ 代入 $S'(x)$ 得：
$$S'(x) = x^2 \cdot \frac{\ln(1+x)}{x} = x \ln(1+x), \quad x \neq 0.$$
当 $x=0$ 时，$S'(0)=0$（由级数直接求导得 $S'(0)=0$）。
公式：$$S'(x) = x \ln(1+x)$$
提示：注意 $x=0$ 处需单独处理，但积分时从0到x自动包含。
步骤 6/7
目标：积分求和函数
对 $S'(x)$ 从0到 $x$ 积分：
$$S(x) = \int_0^x t \ln(1+t) dt + C.$$
计算积分：
$$\int t \ln(1+t) dt = \frac{1}{2} t^2 \ln(1+t) - \frac{1}{2} \int \frac{t^2}{1+t} dt.$$
而
$$\int \frac{t^2}{1+t} dt = \int \left( t-1 + \frac{1}{1+t} \right) dt = \frac{t^2}{2} - t + \ln|1+t| + C.$$
所以
$$\int t \ln(1+t) dt = \frac{1}{2} t^2 \ln(1+t) - \frac{1}{2} \left( \frac{t^2}{2} - t + \ln(1+t) \right) + C = \frac{1}{2} t^2 \ln(1+t) - \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2} - \frac{1}{2} \ln(1+t) + C.$$
因此
$$S(x) = \left[ \frac{1}{2} t^2 \ln(1+t) - \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2} - \frac{1}{2} \ln(1+t) \right]_0^x = \frac{1}{2}(x^2-1)\ln(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}.$$
当 $x=0$ 时，$S(0)=0$，代入得 $C=0$，一致。
公式：$$\int t \ln(1+t) dt = \frac{1}{2} t^2 \ln(1+t) - \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2} - \frac{1}{2} \ln(1+t) + C$$
提示：分部积分时注意符号，积分常数由 $S(0)=0$ 确定。
步骤 7/7
目标：写出最终和函数
因此和函数为：
$$S(x) = \frac{1}{2}(x^2-1)\ln(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}, \quad x \in [-1,1].$$
提示：注意定义域包含端点，且 $x=0$ 时 $S(0)=0$ 与表达式一致。
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