四川大学 2026年数学分析第10题
📝 题目
10．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意固定的 $\displaystyle x \in[0,+\infty)$ ，当自然数 $\displaystyle n \rightarrow+\infty$ 时，有 $\displaystyle f(x+n) \rightarrow 0$ ．证明：函数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 0 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用一致连续性得到一致连续的定义
由 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上一致连续，知对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x, y \in [0, +\infty)$，当 $|x - y| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y\in[0,+\infty), |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$。
步骤 2/5
目标：将区间 [0,1] 分割成有限个小区间
考虑区间 $[0,1]$，将其等分为 $m$ 个小区间，使得每个小区间长度小于 $\delta$，即取 $m$ 满足 $\frac{1}{m} < \delta$，分点为 $0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_m = 1$，其中 $x_k = \frac{k}{m}$，$k = 0,1,\dots,m$。
公式：$\frac{1}{m} < \delta$
提示：分割的目的是将无限多个点转化为有限个分点，以便利用逐点收敛条件。
步骤 3/5
目标：对每个分点利用逐点收敛条件
对每个固定点 $x_k$，由条件 $\lim_{n \to \infty} f(x_k + n) = 0$，知存在 $N_k$，使得当 $n > N_k$ 时，$|f(x_k + n)| < \varepsilon$。取 $N = \max\{N_0, N_1, \dots, N_m\}$，则当 $n > N$ 时，对所有 $k$ 有 $|f(x_k + n)| < \varepsilon$。
公式：$\lim_{n\to\infty} f(x_k+n)=0$
提示：注意 $N$ 取最大值，确保对所有分点同时成立。
步骤 4/5
目标：利用一致连续性估计任意点与分点的函数值差
现在对任意 $x \in [0,1]$，存在某个 $k$ 使得 $|x - x_k| \leq \frac{1}{m} < \delta$，于是 $|(x+n) - (x_k+n)| = |x - x_k| < \delta$，由一致连续性得 $|f(x+n) - f(x_k+n)| < \varepsilon$。
公式：$|f(x+n)-f(x_k+n)|<\varepsilon$
提示：这里利用了平移不变性：$|(x+n)-(x_k+n)|=|x-x_k|$。
步骤 5/5
目标：结合三角不等式得到一致收敛性
因此当 $n > N$ 时，对任意 $x \in [0,1]$，有 $$|f(x+n)| \leq |f(x+n) - f(x_k+n)| + |f(x_k+n)| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon.$$ 由 $\varepsilon$ 的任意性，知 $\{f(x+n)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 0。
公式：$|f(x+n)|<2\varepsilon$
提示：注意 $2\varepsilon$ 可以换成 $\varepsilon$ 通过调整初始 $\varepsilon$，但这里不影响结论。
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