四川大学 2026年数学分析第11题

函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，意味着存在常数 $A = f_x(x_0,y_0)$, $B = f_y(x_0,y_0)$，使得当 $\Delta x, \Delta y \to 0$ 时，有 \[ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho) \] 其中 $\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$。已知 $f(x_0,y_0)=0$，因此上式简化为 \[ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) = A\Delta x + B\Delta y + \varepsilon_1 \rho \] 其中 $\varepsilon_1 \to 0$ 当 $(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$。

由于 $g(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，因此当 $(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$ 时，有 \[ g(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) = g(x_0,y_0) + \varepsilon_2 \] 其中 $\varepsilon_2 \to 0$。

令 $F(x,y)=f(x,y)g(x,y)$，由于 $f(x_0,y_0)=0$，故 $F(x_0,y_0)=0$。于是 \[ \Delta F = F(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - F(x_0,y_0) = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) \cdot g(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) \] 代入前两步的表达式，得 \[ \Delta F = (A\Delta x + B\Delta y + \varepsilon_1 \rho) \cdot (g(x_0,y_0) + \varepsilon_2) \]

展开得 \[ \Delta F = g(x_0,y_0)(A\Delta x + B\Delta y) + g(x_0,y_0)\varepsilon_1 \rho + \varepsilon_2(A\Delta x + B\Delta y) + \varepsilon_1\varepsilon_2 \rho \] 我们需要证明除第一项外，其余各项都是 $o(\rho)$。

1. 由于 $\varepsilon_1 \to 0$，$g(x_0,y_0)\varepsilon_1 \rho = o(\rho)$。 2. 由于 $|A\Delta x + B\Delta y| \leq (|A|+|B|)\rho$，且 $\varepsilon_2 \to 0$，故 $\varepsilon_2(A\Delta x + B\Delta y) = o(\rho)$。 3. 由于 $\varepsilon_1\varepsilon_2 \to 0$，故 $\varepsilon_1\varepsilon_2 \rho = o(\rho)$。 因此 \[ \Delta F = g(x_0,y_0)(A\Delta x + B\Delta y) + o(\rho) \] 这符合可微的定义，且线性主部的系数为 $g(x_0,y_0)A$ 和 $g(x_0,y_0)B$。

由可微的定义，$F(x,y)=f(x,y)g(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，且 \[ \mathrm{d}F(x_0,y_0) = g(x_0,y_0)A\,\mathrm{d}x + g(x_0,y_0)B\,\mathrm{d}y \] 而 $\mathrm{d}f(x_0,y_0) = A\,\mathrm{d}x + B\,\mathrm{d}y$，因此 \[ \mathrm{d}(fg)(x_0,y_0) = g(x_0,y_0)\,\mathrm{d}f(x_0,y_0) \] 证毕。