四川大学 2026年数学分析第12题

已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续、非负且严格单调增加。对于每个正整数 $n$，考虑方程 $(f(x_n))^n = \int_0^1 (f(t))^n \, dt$。令 $g_n(x) = (f(x))^n - \int_0^1 (f(t))^n \, dt$，则 $g_n$ 在 $[0,1]$ 上连续，问题转化为证明 $g_n$ 存在唯一零点。

记 $m = f(0)$，$M = f(1)$，由 $f$ 严格单调增加知 $0 \le m < M$。积分平均值满足 $m^n < \int_0^1 (f(t))^n \, dt < M^n$。计算 $g_n(0) = m^n - \int_0^1 f^n < 0$，$g_n(1) = M^n - \int_0^1 f^n > 0$。由连续函数的介值定理，存在至少一个 $x_n \in (0,1)$ 使得 $g_n(x_n)=0$。

由于 $f$ 严格递增，$(f(x))^n$ 也是严格递增的，因此 $g_n(x)$ 是严格递增的连续函数。严格递增函数至多有一个零点，结合存在性知零点唯一。

假设 $x_n$ 不趋于 $1$，则存在子列 $x_{n_k}$ 收敛于某个 $a < 1$。取 $\delta > 0$ 使得 $1-\delta > a$，则对充分大的 $k$ 有 $x_{n_k} \le 1-\delta$。记 $\rho = \frac{f(1-\delta)}{f(1)} < 1$。

将积分分段估计：$\int_0^1 f^n = \int_0^{1-\delta} f^n + \int_{1-\delta}^1 f^n \le (1-\delta) \rho^n (f(1))^n + \delta (f(1))^n$。两边除以 $(f(1))^n$ 得 $\frac{\int_0^1 f^n}{(f(1))^n} \le (1-\delta)\rho^n + \delta$。当 $n \to \infty$，右边趋于 $\delta$。但左边等于 $\left(\frac{f(x_n)}{f(1)}\right)^n$。若 $x_n \le 1-\delta$，则 $\left(\frac{f(x_n)}{f(1)}\right)^n \le \rho^n \to 0$，与右边可取任意小正数（如 $\delta/2$）矛盾。因此 $x_n$ 必须趋于 $1$。

综上，对每个正整数 $n$，存在唯一的 $x_n \in (0,1)$ 满足 $(f(x_n))^n = \int_0^1 (f(t))^n \, dt$，且 $\lim_{n \to \infty} x_n = 1$。