四川大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．（12 分）计算
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$
其中 $\displaystyle \Sigma: 1-\frac{z}{3}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16}(z \geq 0)$ ，方向取上侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别向量场与奇点
被积表达式对应向量场 $\mathbf{F} = \left( \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right)$。该场在原点处奇异，但曲面 $\Sigma$ 由方程 $1-\frac{z}{3} = \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{16}$ 给出，且 $z \geq 0$。代入原点 $(0,0,0)$ 得 $1 = \frac{4}{25}+\frac{1}{16} \neq 0$，故原点不在曲面上，可考虑高斯公式。
提示：注意检查奇点是否在区域内，若在则不能直接使用高斯公式。
步骤 2/7
目标：补面构造封闭曲面
曲面 $\Sigma$ 开口向上，需补底面 $\Sigma_0: z=0$，方向取下侧（法向量向下），使得 $\Sigma \cup \Sigma_0$ 构成封闭曲面且方向外侧。$\Sigma_0$ 对应的区域由 $\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{16} \leq 1$ 确定（因为 $z=0$ 时方程变为 $1 = \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{16}$）。
提示：补面方向要与原曲面方向协调，确保封闭曲面外侧。
步骤 3/7
目标：应用高斯公式
设 $\Omega$ 为 $\Sigma \cup \Sigma_0$ 所围区域，由高斯公式：
$$
\iint_{\Sigma \cup \Sigma_0} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV.
$$
计算散度：
$$
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r^3}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r^3}\right),
$$
其中 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
提示：高斯公式要求曲面封闭且方向外侧，散度计算要仔细。
步骤 4/7
目标：计算散度
计算偏导数：
$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right) = \frac{r^3 - x \cdot 3r^2 \cdot \frac{x}{r}}{r^6} = \frac{r^2 - 3x^2}{r^5}.
$$
同理：
$$
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r^3}\right) = \frac{r^2 - 3y^2}{r^5}, \quad \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r^3}\right) = \frac{r^2 - 3z^2}{r^5}.
$$
求和得：
$$
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{3r^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = 0 \quad (r \neq 0).
$$
公式：$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right) = \frac{r^2-3x^2}{r^5}$
提示：注意 $r$ 是 $x,y,z$ 的函数，求导时需用链式法则。
步骤 5/7
目标：得到封闭曲面积分为零
由于散度为零，且 $\Omega$ 内不含奇点，故
$$
\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = 0,
$$
从而
$$
\iint_{\Sigma \cup \Sigma_0} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0,
$$
即
$$
\iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = - \iint_{\Sigma_0} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS.
$$
提示：散度为零是简化关键，但需确认区域无奇点。
步骤 6/7
目标：计算底面积分
底面 $\Sigma_0$ 取下侧，法向量 $\mathbf{n} = (0,0,-1)$，则
$$
\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = -\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \bigg|_{z=0} = 0.
$$
因此
$$
\iint_{\Sigma_0} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0.
$$
提示：注意法向量方向与坐标轴方向的关系，$z=0$ 时分子为零。
步骤 7/7
目标：得出原积分结果
由前两步得
$$
\iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = -0 = 0.
$$
故原积分为 $0$。
提示：最终结果简洁，但需确保每一步推理正确。
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