四川师范大学 2023年数学分析第10题
📝 题目
10．求积分
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I(a)=\int_{0}^{\pi} \ln (1+a \cos x) \mathrm{d} x,|a|<1
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入参数并求导
记 $I(a)=\int_{0}^{\pi} \ln(1+a\cos x) \, dx$，由于 $|a|<1$，积分与求导可交换次序，对 $a$ 求导得 $I'(a)=\int_{0}^{\pi} \frac{\cos x}{1+a\cos x} \, dx$。
公式：$I'(a)=\int_{0}^{\pi} \frac{\cos x}{1+a\cos x} \, dx$
提示：注意 $|a|<1$ 保证了对数真数恒正，且积分区间有限，满足 Leibniz 积分法则的条件。
步骤 2/6
目标：化简被积函数并拆分积分
将 $\frac{\cos x}{1+a\cos x}$ 改写为 $\frac{1}{a} - \frac{1}{a(1+a\cos x)}$，则 $I'(a)=\int_0^\pi \frac{1}{a}\, dx - \frac{1}{a}\int_0^\pi \frac{dx}{1+a\cos x} = \frac{\pi}{a} - \frac{1}{a}\int_0^\pi \frac{dx}{1+a\cos x}$。
公式：$\frac{\cos x}{1+a\cos x} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a(1+a\cos x)}$
提示：拆分后第一项是常数积分，直接得到 $\pi/a$。
步骤 3/6
目标：计算积分 $\int_0^\pi \frac{dx}{1+a\cos x}$
使用万能代换 $t=\tan(x/2)$，则 $x:0\to\pi$ 对应 $t:0\to\infty$，$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$。代入得 $\int_0^\pi \frac{dx}{1+a\cos x} = \int_0^\infty \frac{2\, dt}{(1+a)+(1-a)t^2}$。令 $k^2=\frac{1-a}{1+a}$，则积分化为 $\frac{2}{1+a}\int_0^\infty \frac{dt}{1+k^2 t^2} = \frac{2}{1+a}\cdot\frac{\pi}{2k} = \frac{\pi}{\sqrt{1-a^2}}$。
公式：$\int_0^\pi \frac{dx}{1+a\cos x} = \frac{\pi}{\sqrt{1-a^2}}$
提示：万能代换后注意分母配方，利用 $\int_0^\infty \frac{dt}{1+k^2 t^2}=\frac{\pi}{2k}$。
步骤 4/6
目标：得到 $I'(a)$ 的表达式
将上一步结果代入：$I'(a) = \frac{\pi}{a} - \frac{1}{a}\cdot\frac{\pi}{\sqrt{1-a^2}} = \frac{\pi}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\right)$。
公式：$I'(a) = \frac{\pi}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\right)$
提示：注意 $a$ 在分母，$a=0$ 处需单独处理，但积分时从 $0$ 到 $a$ 可避开奇点。
步骤 5/6
目标：对 $I'(a)$ 积分求 $I(a)$
由 $I(0)=0$，积分得 $I(a)=\pi\int_0^a \frac{1}{t}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right)dt$。令 $t=\sin\theta$，则 $dt=\cos\theta\,d\theta$，$\theta:0\to\alpha$，其中 $a=\sin\alpha$。被积函数化为 $\frac{1}{\sin\theta}\left(1-\frac{1}{\cos\theta}\right)\cos\theta\,d\theta = (\cot\theta-\csc\theta)\,d\theta$。于是 $I(a)=\pi\int_0^\alpha (\cot\theta-\csc\theta)\,d\theta$。
公式：$I(a)=\pi\int_0^\alpha (\cot\theta-\csc\theta)\,d\theta$
提示：换元时注意 $\sqrt{1-t^2}=\cos\theta$，且 $\theta$ 从 $0$ 到 $\alpha$。
步骤 6/6
目标：计算积分并化简结果
计算 $\int \cot\theta\,d\theta = \ln|\sin\theta|$，$\int \csc\theta\,d\theta = \ln|\tan(\theta/2)|$。代入上下限：$I(a)=\pi\left[\ln\sin\theta - \ln\tan(\theta/2)\right]_0^\alpha$。当 $\theta\to0$ 时，$\sin\theta\sim\theta$，$\tan(\theta/2)\sim\theta/2$，差为 $\ln2$，故 $I(a)=\pi\left(\ln\sin\alpha - \ln\tan(\alpha/2) - \ln2\right)$。利用 $\sin\alpha=a$，$\tan(\alpha/2)=\frac{a}{1+\sqrt{1-a^2}}$，得 $\ln\sin\alpha - \ln\tan(\alpha/2) = \ln(1+\sqrt{1-a^2})$。因此 $I(a)=\pi\ln\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}$。
公式：$I(a)=\pi\ln\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}$
提示：下限处理时注意极限，$\ln\sin\theta - \ln\tan(\theta/2) \to \ln2$。
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