📝 四川师范大学 2023年数学分析真题

1．设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0<b_{n}<b_{n+1}(n=1,2, \ldots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty$ 。证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} b_{1}+\cdots a_{n} b_{n}}{b_{n}}=0
$$

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{2 f^{\prime}(\xi)}{1-\xi}$.

3．讨论函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$

在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性和可微性．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{6}(b-a)^{3}
$$

6．讨论函数 $\displaystyle f(x)=\left(1+e^{y}\right) \cos x-y e^{y}$ 的极值点．

7．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{n^{2}}}-\cos \frac{\pi}{n}\right)$ 的玫散性．
8 ．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ 的和函数．

9．求 $\displaystyle I=\int_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 是上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 R x(z \geq 0)$ 与圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 r x(0<r<R)$ 所围成的曲线，方向为逆时针（球面较小部分在左面）．

10．求积分

$$
I(a)=\int_{0}^{\pi} \ln (1+a \cos x) \mathrm{d} x,|a|<1
$$