四川师范大学 2023年数学分析第3题
📝 题目
3．讨论函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性和可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证连续性：利用夹逼定理
当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，有 $0 \leq \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} \leq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2} = x^2+y^2$，因为 $x^2 y^2 \leq (x^2+y^2)^2/4$，但这里用 $x^2+y^2$ 更简单。由于 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)=0$，由夹逼定理得 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 = f(0,0)$，故函数在 $(0,0)$ 处连续。
公式：0 \leq \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} \leq x^2+y^2
提示：注意不等式放缩的方向，确保夹逼定理适用。
步骤 2/6
目标：计算偏导数在原点处的值
由定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0$，类似地 $f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0$。
公式：f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
提示：偏导数定义中，注意分母是单个变量的增量。
步骤 3/6
目标：写出增量表达式
令 $h,k$ 为增量，则 $\Delta f = f(0+h,0+k)-f(0,0)=\frac{h^2 k^2}{h^2+k^2}$。
公式：\Delta f = \frac{h^2 k^2}{h^2+k^2}
提示：注意 $f(0,0)=0$。
步骤 4/6
目标：可微性条件转化
若函数在 $(0,0)$ 处可微，则 $\Delta f = f_x(0,0)h + f_y(0,0)k + o(\sqrt{h^2+k^2}) = o(\sqrt{h^2+k^2})$，即需验证 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{h^2 k^2}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}}=0$。
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{h^2 k^2}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}}=0
提示：注意 $o(\rho)$ 的定义，其中 $\rho=\sqrt{h^2+k^2}$。
步骤 5/6
目标：使用极坐标变换求极限
令 $h=r\cos\theta$, $k=r\sin\theta$，则 $\frac{h^2 k^2}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta}{r^2 \cdot r} = r \cos^2\theta \sin^2\theta$。当 $r\to 0$ 时，该表达式趋于 $0$，与 $\theta$ 无关。
公式：\frac{h^2 k^2}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}} = r \cos^2\theta \sin^2\theta
提示：极坐标变换后，注意 $\sqrt{h^2+k^2}=r$，$h^2+k^2=r^2$。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于极限为 $0$，满足可微条件，故函数在 $(0,0)$ 处可微。
提示：可微性要求偏导数存在且增量满足线性逼近。
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