四川师范大学 2023年数学分析第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{2 f^{\prime}(\xi)}{1-\xi}$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析待证等式，转化为导数形式
要证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f''(\xi) = \frac{2 f'(\xi)}{1-\xi}$，等价于证明存在 $\xi$ 满足 $(1-\xi)f''(\xi) - 2f'(\xi) = 0$。这提示我们考虑某个函数的导数，使其导函数包含该表达式。
公式：$f''(\xi)(1-\xi) - 2f'(\xi) = 0$
提示：注意将等式改写为乘积形式，便于构造辅助函数。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数
观察 $(1-x)^2$ 的导数：$\frac{d}{dx}[(1-x)^2] = -2(1-x)$。考虑函数 $g(x) = (1-x)^2 f'(x)$，则其导数为 $g'(x) = -2(1-x)f'(x) + (1-x)^2 f''(x) = (1-x)[(1-x)f''(x) - 2f'(x)]$。因此，要证 $(1-\xi)f''(\xi) - 2f'(\xi)=0$，只需证存在 $\xi$ 使得 $g'(\xi)=0$。
公式：$g(x) = (1-x)^2 f'(x)$，$g'(x) = (1-x)[(1-x)f''(x) - 2f'(x)]$
提示：构造辅助函数时，常从待证等式的形式出发，寻找一个导数后能出现该表达式的函数。
步骤 3/5
目标：寻找罗尔定理的适用条件
由拉格朗日中值定理，因为 $f(0)=f(1)=0$，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f'(c) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = 0$。于是 $g(c) = (1-c)^2 f'(c) = 0$。另外，在 $x=1$ 处，$g(1) = (1-1)^2 f'(1) = 0$。因此 $g(x)$ 在区间 $[c,1]$ 上连续（因 $f'$ 存在，故连续），在 $(c,1)$ 内可导，且 $g(c)=g(1)=0$。
公式：$f'(c)=0$，$g(c)=0$，$g(1)=0$
提示：注意 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，满足拉格朗日中值定理条件。
步骤 4/5
目标：应用罗尔定理
由罗尔定理，存在 $\xi \in (c,1) \subset (0,1)$ 使得 $g'(\xi)=0$。代入 $g'(x)$ 的表达式得 $(1-\xi)[(1-\xi)f''(\xi) - 2f'(\xi)] = 0$。由于 $\xi \in (0,1)$，$1-\xi > 0$，因此 $(1-\xi)f''(\xi) - 2f'(\xi) = 0$，即 $f''(\xi) = \frac{2f'(\xi)}{1-\xi}$。
公式：$g'(\xi)=0 \Rightarrow (1-\xi)f''(\xi) - 2f'(\xi)=0$
提示：注意 $1-\xi > 0$，可以安全地约去，否则需单独讨论。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，存在一点 $\xi \in (0,1)$，使得 $f''(\xi) = \frac{2 f'(\xi)}{1-\xi}$，命题得证。
公式：$\exists \xi \in (0,1), f''(\xi) = \frac{2 f'(\xi)}{1-\xi}$
提示：证明过程中构造辅助函数是关键，罗尔定理的应用需要验证端点值相等。
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