四川师范大学 2023年数学分析第1题
📝 题目
1．设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0<b_{n}<b_{n+1}(n=1,2, \ldots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty$ 。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} b_{1}+\cdots a_{n} b_{n}}{b_{n}}=0
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入部分和并应用阿贝尔变换
设 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，由级数收敛知 $\lim_{n\to\infty} S_n = S$ 存在。利用阿贝尔变换（分部求和公式）：
$$\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^{n-1} S_k (b_k - b_{k+1}) + S_n b_n.$$
公式：$$\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^{n-1} S_k (b_k - b_{k+1}) + S_n b_n$$
提示：注意阿贝尔变换中求和指标的范围，以及 $b_k - b_{k+1}$ 为负值。
步骤 2/7
目标：将目标表达式变形
将阿贝尔变换结果除以 $b_n$ 得：
$$\frac{\sum_{k=1}^n a_k b_k}{b_n} = \frac{\sum_{k=1}^{n-1} S_k (b_k - b_{k+1})}{b_n} + S_n.$$
提示：注意 $b_n$ 在分母，且 $b_n \to +\infty$。
步骤 3/7
目标：利用级数收敛性控制部分和误差
由于 $\lim_{n\to\infty} S_n = S$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得当 $k > N$ 时 $|S_k - S| < \varepsilon$。令 $R_k = S_k - S$，则 $|R_k| < \varepsilon$ 对 $k \geq N+1$。
提示：注意 $N$ 的选取依赖于 $\varepsilon$，且 $N$ 固定后后续处理中 $b_{N+1}$ 为常数。
步骤 4/7
目标：将求和分段并估计第二部分
将求和分为 $k=1$ 到 $N$ 和 $k=N+1$ 到 $n$ 两部分：
$$\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^N a_k b_k + \sum_{k=N+1}^n a_k b_k.$$
对于第二部分，利用 $a_k = R_k - R_{k-1}$（其中 $R_0=0$）进行分部求和：
$$\sum_{k=N+1}^n a_k b_k = R_n b_n - R_N b_{N+1} + \sum_{k=N+1}^{n-1} R_k (b_k - b_{k+1}).$$
公式：$$\sum_{k=N+1}^n a_k b_k = R_n b_n - R_N b_{N+1} + \sum_{k=N+1}^{n-1} R_k (b_k - b_{k+1})$$
提示：注意 $R_N$ 是固定的，$b_{N+1}$ 是常数，且 $b_k - b_{k+1} < 0$。
步骤 5/7
目标：估计第二部分的绝对值
由于 $|R_k| < \varepsilon$ 对 $k \geq N+1$，且 $b_k - b_{k+1} < 0$，有
$$\left|\sum_{k=N+1}^{n-1} R_k (b_k - b_{k+1})\right| \leq \varepsilon \sum_{k=N+1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = \varepsilon (b_n - b_{N+1}).$$
因此
$$\left|\sum_{k=N+1}^n a_k b_k\right| \leq |R_n| b_n + |R_N| b_{N+1} + \varepsilon (b_n - b_{N+1}) \leq \varepsilon b_n + \varepsilon b_{N+1} + \varepsilon b_n = 2\varepsilon b_n + \varepsilon b_{N+1}.$$
提示：注意 $|R_n| < \varepsilon$ 和 $|R_N|$ 有界，但 $R_N$ 不是小量，需保留。
步骤 6/7
目标：得到整体估计并取极限
于是
$$\left|\frac{\sum_{k=1}^n a_k b_k}{b_n}\right| \leq \frac{\left|\sum_{k=1}^N a_k b_k\right|}{b_n} + 2\varepsilon + \varepsilon \frac{b_{N+1}}{b_n}.$$
令 $n \to \infty$，第一项趋于0（分子固定，分母趋于无穷），第三项趋于0（$b_{N+1}$ 固定），故
$$\limsup_{n\to\infty} \left|\frac{\sum_{k=1}^n a_k b_k}{b_n}\right| \leq 2\varepsilon.$$
提示：注意上极限的运用，以及 $\varepsilon$ 的任意性。
步骤 7/7
目标：由任意性得结论
由于 $\varepsilon > 0$ 任意，得 $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{\sum_{k=1}^n a_k b_k}{b_n}\right| = 0$，即
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n}{b_n} = 0.$$
提示：最终结论是极限为0，注意绝对值处理。
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