四川师范大学 2023年数学分析第9题
📝 题目
9．求 $\displaystyle I=\int_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 是上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 R x(z \geq 0)$ 与圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 r x(0<r<R)$ 所围成的曲线，方向为逆时针（球面较小部分在左面）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解曲线与方向
曲线 $L$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=2Rx\ (z\ge 0)$ 与圆柱面 $x^2+y^2=2rx\ (0
公式：球面：$(x-R)^2+y^2+z^2=R^2$，圆柱面：$(x-r)^2+y^2=r^2$
提示：注意球面方程需先配方，明确几何形状；方向描述用于后续应用斯托克斯公式时确定法向量方向。
步骤 2/5
目标：应用斯托克斯公式并计算旋度
设 $P=y^2+z^2,\ Q=x^2+z^2,\ R=x^2+y^2$，则曲线积分 $I=\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz$。由斯托克斯公式，$I=\iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS$，其中 $S$ 是以 $L$ 为边界的曲面。计算旋度：
$$
\nabla\times\mathbf{F}=\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
y^2+z^2 & x^2+z^2 & x^2+y^2
\end{vmatrix}=(2y-2z,\ 2z-2x,\ 2x-2y).
$$
公式：$\nabla\times\mathbf{F}=(2y-2z,\ 2z-2x,\ 2x-2y)$
提示：旋度计算要仔细，注意偏导顺序；斯托克斯公式要求曲面方向与曲线方向符合右手法则。
步骤 3/5
目标：选择曲面并计算法向量与旋度的点积
取 $S$ 为上半球面被圆柱截出的部分（球冠）。球面外侧法向量为 $\mathbf{n}=\frac{(x-R,\ y,\ z)}{R}$。计算点积：
$$
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=\frac{1}{R}\big[(2y-2z)(x-R)+(2z-2x)y+(2x-2y)z\big].
$$
展开并合并：
- $y$ 项：$2y(x-R)-2xy-2yz = -2yR-2yz$，
- $z$ 项：$-2z(x-R)+2zy+2xz = 2zR+2zy$，
总和为 $2R(z-y)$，除以 $R$ 得 $2(z-y)$。
公式：$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=2(z-y)$
提示：法向量方向需与曲线逆时针方向匹配（右手法则），此处取外侧法向正确；代数化简要耐心。
步骤 4/5
目标：将曲面积分化为投影区域上的二重积分
由斯托克斯公式，$I=\iint_S 2(z-y)\,dS$。将 $S$ 投影到 $xOy$ 平面，投影区域 $D$ 为圆柱底面：$(x-r)^2+y^2\le r^2$。球面面积元 $dS=\frac{R}{z}\,dxdy$（由 $z=\sqrt{R^2-(x-R)^2-y^2}$ 推导），则
$$
I=\iint_D 2(z-y)\cdot\frac{R}{z}\,dxdy=2R\iint_D\left(1-\frac{y}{z}\right)dxdy.
$$
公式：$dS=\frac{R}{z}\,dxdy$，$I=2R\iint_D\left(1-\frac{y}{z}\right)dxdy$
提示：注意 $z$ 在 $D$ 上恒正（上半球面），面积元公式推导需利用隐函数求导。
步骤 5/5
目标：利用对称性简化积分并计算
区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且 $\frac{y}{z}$ 是 $y$ 的奇函数（$z$ 关于 $y$ 为偶函数），故 $\iint_D \frac{y}{z}\,dxdy=0$。因此
$$
I=2R\iint_D 1\,dxdy=2R\cdot\text{Area}(D)=2R\cdot\pi r^2=2\pi R r^2.
$$
公式：$\text{Area}(D)=\pi r^2$，$I=2\pi R r^2$
提示：对称性使用前需确认被积函数的奇偶性与区域对称性匹配；圆面积公式直接应用。
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