四川师范大学 2023年数学分析第7题
📝 题目
7．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{n^{2}}}-\cos \frac{\pi}{n}\right)$ 的玫散性．
8 ．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ 的和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：利用泰勒展开估计通项
当 $n \to \infty$ 时，对 $e^{\frac{1}{n^2}}$ 和 $\cos \frac{\pi}{n}$ 进行泰勒展开：
$$e^{\frac{1}{n^2}} = 1 + \frac{1}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right),$$
$$\cos \frac{\pi}{n} = 1 - \frac{\pi^2}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right).$$
公式：e^x = 1 + x + O(x^2), \cos x = 1 - x^2/2 + O(x^4)
提示：注意展开到足够高阶，确保主项为1/n^2项。
步骤 2/8
目标：计算通项的主部
相减得：
$$e^{\frac{1}{n^2}} - \cos \frac{\pi}{n} = \left(1 + \frac{1}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right)\right) - \left(1 - \frac{\pi^2}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right)\right) = \frac{1+\pi^2/2}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right).$$
提示：注意合并同类项时不要遗漏系数。
步骤 3/8
目标：比较判别法判断收敛性
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛（p-级数，p=2>1），且 $O\left(\frac{1}{n^4}\right)$ 项对应的级数也收敛，故原级数收敛。
公式：p-级数 $\sum 1/n^p$ 当 p>1 时收敛
提示：注意比较判别法需要正项级数，这里通项为正。
步骤 4/8
目标：求幂级数的收敛半径
设 $a_n = \frac{n^2+1}{2^n n!}$，则
$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2+1}{2^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{2^n n!}{n^2+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2+1}{2(n+1)(n^2+1)} = 0,$$
故收敛半径 $R = +\infty$，即 $x \in (-\infty, +\infty)$。
公式：比值判别法求收敛半径
提示：注意阶乘的化简，极限为0说明收敛半径为无穷。
步骤 5/8
目标：分解和函数为两部分
$$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{2^n n!} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n n!} x^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n n!} x^n.$$
提示：注意求和从n=1开始。
步骤 6/8
目标：计算第二部分的和函数
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n n!} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x/2)^n}{n!} = e^{x/2} - 1.$$
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y$
提示：注意指数级数从n=0开始，减去n=0项。
步骤 7/8
目标：计算第一部分的和函数
令 $m=n-1$，则
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n n!} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^n = \frac{x}{2} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{m+1}{m!} \left(\frac{x}{2}\right)^m = \frac{x}{2} \left( \sum_{m=0}^{\infty} \frac{m}{m!} \left(\frac{x}{2}\right)^m + \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} \left(\frac{x}{2}\right)^m \right).$$
而 $\sum_{m=0}^{\infty} \frac{m}{m!} \left(\frac{x}{2}\right)^m = \frac{x}{2} e^{x/2}$，$\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} \left(\frac{x}{2}\right)^m = e^{x/2}$，所以
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n n!} x^n = \frac{x}{2} \left( \frac{x}{2} e^{x/2} + e^{x/2} \right) = \frac{x(x+2)}{4} e^{x/2}.$$
公式：$\sum_{m=0}^{\infty} \frac{m}{m!} y^m = y e^y$
提示：注意求和指标变换，以及m=0时m/m!项为0。
步骤 8/8
目标：合并得到和函数
$$S(x) = \frac{x(x+2)}{4} e^{x/2} + (e^{x/2} - 1) = e^{x/2} \left( \frac{x^2+2x}{4} + 1 \right) - 1 = \frac{x^2+2x+4}{4} e^{x/2} - 1, \quad x \in (-\infty, +\infty).$$
提示：合并时注意通分。
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