四川师范大学 2023年数学分析第6题
📝 题目
6．讨论函数 $\displaystyle f(x)=\left(1+e^{y}\right) \cos x-y e^{y}$ 的极值点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求一阶偏导数
函数 $f(x,y) = (1+e^y)\cos x - y e^y$。对 $x$ 求偏导：$f_x = -(1+e^y)\sin x$；对 $y$ 求偏导：$f_y = e^y \cos x - e^y - y e^y = e^y(\cos x - 1 - y)$。
公式：$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$, $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$
提示：注意 $e^y$ 对 $y$ 求导时不要漏掉 $e^y$ 本身。
步骤 2/6
目标：解方程组求驻点
令 $f_x=0$ 得 $\sin x = 0$，即 $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$。代入 $f_y=0$：当 $x=k\pi$ 时，$\cos x = (-1)^k$。若 $k$ 为偶数，$\cos x=1$，则 $f_y = e^y(1-1-y) = -y e^y = 0 \Rightarrow y=0$；若 $k$ 为奇数，$\cos x=-1$，则 $f_y = e^y(-1-1-y) = e^y(-2-y)=0 \Rightarrow y=-2$。故驻点为 $(2m\pi, 0)$ 和 $((2m+1)\pi, -2)$，$m \in \mathbb{Z}$。
公式：$f_x=0$, $f_y=0$
提示：注意 $\cos x$ 在 $x=k\pi$ 时的取值与 $k$ 的奇偶性有关，要分类讨论。
步骤 3/6
目标：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数：$f_{xx} = -(1+e^y)\cos x$，$f_{xy} = -e^y \sin x$，$f_{yy} = e^y(\cos x - 1 - y) + e^y(-1) = e^y(\cos x - 2 - y)$。
公式：$f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}$
提示：注意 $f_{yy}$ 的推导：对 $f_y$ 再求一次 $y$ 的偏导，使用乘积法则。
步骤 4/6
目标：判断驻点 $(2m\pi, 0)$ 的类型
在 $(2m\pi, 0)$ 处，$\cos x=1, \sin x=0$，代入得 $A = f_{xx} = -(1+e^0)\cdot1 = -2$，$B = f_{xy} = 0$，$C = f_{yy} = e^0(1-2-0) = -1$。计算判别式 $\Delta = AC - B^2 = (-2)(-1) - 0 = 2 > 0$，且 $A<0$，故为极大值点。极大值 $f = (1+1)\cdot1 - 0\cdot1 = 2$。
公式：$\Delta = AC - B^2$
提示：判别式 $\Delta>0$ 且 $A<0$ 时是极大值，$A>0$ 时是极小值；$\Delta<0$ 时是鞍点。
步骤 5/6
目标：判断驻点 $((2m+1)\pi, -2)$ 的类型
在 $((2m+1)\pi, -2)$ 处，$\cos x=-1, \sin x=0$，代入得 $A = f_{xx} = -(1+e^{-2})\cdot(-1) = 1+e^{-2}$，$B = 0$，$C = f_{yy} = e^{-2}(-1-2-(-2)) = e^{-2}(-1) = -e^{-2}$。计算 $\Delta = AC - B^2 = (1+e^{-2})(-e^{-2}) - 0 = -e^{-2}(1+e^{-2}) < 0$，故为鞍点，不是极值点。
公式：$\Delta = AC - B^2$
提示：注意 $\cos x=-1$ 时 $f_{yy}$ 的计算，不要代错 $y$ 值。
步骤 6/6
目标：总结极值点
函数有极大值点 $(2m\pi, 0)$，极大值为 $2$，无极小值点。
提示：注意极值点有无穷多个，但极值相同。
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