四川师范大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．$A$ 是有界数集， $\displaystyle \sup S=a \notin S$ 。证明存在严格单调递增数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset S$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a 。$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解上确界定义
由于 $a = \sup S$ 且 $a \notin S$，根据上确界的定义，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $x \in S$ 使得 $a - \varepsilon < x < a$。这意味着 $S$ 中有元素可以任意接近 $a$ 但小于 $a$。
提示：注意 $a \notin S$ 保证了 $x < a$ 严格成立，不能取等号。
步骤 2/6
目标：构造数列初始项
取 $\varepsilon_1 = 1$，则存在 $x_1 \in S$ 使得 $a - 1 < x_1 < a$。这样我们得到了数列的第一项 $x_1$。
提示：初始 $\varepsilon$ 可以取任意正数，这里取1是为了简单。
步骤 3/6
目标：归纳假设与构造下一步
假设已取定 $x_1, x_2, \dots, x_n \in S$ 满足 $x_1 < x_2 < \cdots < x_n < a$。令 $\varepsilon_{n+1} = \min\left\{\frac{1}{n+1}, a - x_n\right\} > 0$，则存在 $x_{n+1} \in S$ 使得 $a - \varepsilon_{n+1} < x_{n+1} < a$。
公式：$\varepsilon_{n+1} = \min\left\{\frac{1}{n+1}, a - x_n\right\}$
提示：取 $\varepsilon_{n+1}$ 为两个正数的最小值，确保它既小到能逼近 $a$，又保证严格递增。
步骤 4/6
目标：验证严格递增性
由于 $\varepsilon_{n+1} \leq a - x_n$，有 $x_{n+1} > a - \varepsilon_{n+1} \geq a - (a - x_n) = x_n$，所以 $x_{n+1} > x_n$。因此数列严格递增。
提示：注意不等式方向：$x_{n+1} > a - \varepsilon_{n+1} \geq x_n$，从而严格大于。
步骤 5/6
目标：证明收敛于a
由构造，$a - \frac{1}{n} < x_n < a$，故 $|x_n - a| < \frac{1}{n}$。根据极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N > \frac{1}{\varepsilon}$，则当 $n > N$ 时，$|x_n - a| < \frac{1}{n} < \varepsilon$，因此 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。
公式：$|x_n - a| < \frac{1}{n}$
提示：注意 $x_n$ 的下界是 $a - \frac{1}{n}$，因为 $\varepsilon_n \leq \frac{1}{n}$。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，我们构造了一个严格单调递增数列 $\{x_n\} \subset S$，且 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。命题得证。
提示：确保数列每一项都在 $S$ 中，且严格递增，极限为 $a$。
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