📝 四川师范大学 2024年数学分析真题

1．$A$ 是有界数集， $\displaystyle \sup S=a \notin S$ 。证明存在严格单调递增数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset S$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a 。$

2．$\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots+\frac{1}{n^{\alpha}}+\cdots, \alpha>0$ 。讨论 $\displaystyle a_{n}$ 的玫散性。

3．讨论黎曼函数 $\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}\left(\frac{p}{q} \text { 是既约真分数 }\right. \\ 0, x \text { 是 }(0,1) \text { 无理数或 } 0 \text { 或 } 1\end{array}\right.$ 的连续性。

4．证明 $\displaystyle f(x)=\frac{1+\sin ^{2} x}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续但不一致连续。

5．讨论 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 的可导性。

6．计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{2024+\cos ^{2} x} d x$ 。

7．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2024^{n} n^{x}}$ 。

8．写出 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \arctan s d s$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式，并确定收敛域。

9．计算

$$
I=\oint_{L} \frac{x d y-2024 y d x}{\left[(A x+B y)^{2}+(C x+D y)^{2}\right]^{2024}}
$$

10．其中 $L$ 为椭圆 $\displaystyle (A x+B y)^{2}+(C x+D y)^{2}=1$ ，取正方向且 $\displaystyle A D-B C \neq 0$ 。计算

$$
I=\iint_{S}(x+y-z) d y d z+[2 y+\sin (z+x)] d z d x+\left(3 z+e^{x+y}\right) d x d y
$$

其中 $S$ 为封闭曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面。