四川师范大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5．讨论 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 的可导性。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确问题：讨论函数在x=0处的可导性
函数 $f(x)=\begin{cases} x^\alpha \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处可导的充要条件是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且导数定义极限存在。由于 $f(0)=0$，我们需先讨论连续性。
提示：注意可导必连续，但连续不一定可导。先判断连续性可以缩小参数范围。
步骤 2/7
目标：讨论连续性：求极限 $\lim_{x\to 0} x^\alpha \sin \frac{1}{x}$
考虑 $\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} x^\alpha \sin \frac{1}{x}$。
- 当 $\alpha > 0$ 时，由于 $|x^\alpha \sin \frac{1}{x}| \leq |x|^\alpha \to 0$，由夹逼定理得极限为0，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
- 当 $\alpha \leq 0$ 时，取 $x_n = \frac{1}{2n\pi+\pi/2}$，则 $f(x_n) = x_n^\alpha \to \infty$（若 $\alpha<0$）或振荡（若 $\alpha=0$），极限不存在，故不连续，从而不可导。
公式：夹逼定理：若 $|g(x)| \leq h(x)$ 且 $h(x)\to 0$，则 $g(x)\to 0$。
提示：注意 $\alpha=0$ 时，$f(x)=\sin\frac{1}{x}$，极限不存在，不连续。
步骤 3/7
目标：当 $\alpha>0$ 时，考虑导数定义
由导数定义：$f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{x^\alpha \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x\to 0} x^{\alpha-1} \sin \frac{1}{x}$。
公式：导数定义：$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。
提示：注意 $f(0)=0$，所以分子直接为 $f(x)$。
步骤 4/7
目标：讨论 $\alpha > 1$ 的情形
若 $\alpha > 1$，则 $\alpha-1 > 0$，于是 $|x^{\alpha-1} \sin \frac{1}{x}| \leq |x|^{\alpha-1} \to 0$，由夹逼定理得极限为0，故 $f'(0)=0$，可导。
公式：夹逼定理。
提示：注意 $\alpha-1>0$ 时，$|x|^{\alpha-1}\to 0$。
步骤 5/7
目标：讨论 $\alpha = 1$ 的情形
若 $\alpha = 1$，则极限为 $\lim_{x\to 0} \sin \frac{1}{x}$，该极限不存在（例如取 $x_n=\frac{1}{2n\pi}$ 得0，取 $x_n=\frac{1}{2n\pi+\pi/2}$ 得1），故不可导。
提示：注意 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 附近振荡，极限不存在。
步骤 6/7
目标：讨论 $0 < \alpha < 1$ 的情形
若 $0 < \alpha < 1$，则 $\alpha-1 < 0$，$x^{\alpha-1} \to \infty$ 当 $x\to 0$，而 $\sin\frac{1}{x}$ 振荡，乘积的极限不存在（例如取 $x_n=\frac{1}{2n\pi+\pi/2}$ 得 $x_n^{\alpha-1}\to \infty$，取 $x_n=\frac{1}{2n\pi}$ 得0），故不可导。
提示：注意 $x^{\alpha-1}$ 趋于无穷大，与振荡函数乘积通常无极限。
步骤 7/7
目标：综合结论
综上所述：
- 当 $\alpha > 1$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f'(0)=0$。
- 当 $\alpha \leq 1$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。
提示：注意 $\alpha=1$ 时不可导，但连续；$0<\alpha<1$ 时连续但不可导。
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