四川师范大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．$\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots+\frac{1}{n^{\alpha}}+\cdots, \alpha>0$ 。讨论 $\displaystyle a_{n}$ 的玫散性。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别级数类型
题目中的级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$，其中 $\alpha > 0$。这是一个 $p$-级数（或称为 $\alpha$-级数），其一般形式为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$，这里 $p = \alpha$。
公式：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$
提示：注意 $\alpha > 0$，不要忽略这个条件。
步骤 2/7
目标：回忆p-级数的敛散性结论
对于 $p$-级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$，已知：当 $p > 1$ 时级数收敛；当 $0 < p \leq 1$ 时级数发散。因此，本题的敛散性由 $\alpha$ 决定：若 $\alpha > 1$ 则收敛，若 $0 < \alpha \leq 1$ 则发散。
提示：注意 $p=1$ 时是调和级数，发散，属于 $p \leq 1$ 的情况。
步骤 3/7
目标：选择判别方法：积分判别法
为了证明上述结论，我们使用积分判别法。考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x^{\alpha}}$，它在区间 $[1, +\infty)$ 上非负且单调递减。根据积分判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 与反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx$ 具有相同的敛散性。
公式：$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} \, dx$
提示：积分判别法的条件是函数非负、单调递减，这里 $f(x)$ 满足，因为 $\alpha > 0$。
步骤 4/7
目标：计算反常积分（α≠1）
当 $\alpha \neq 1$ 时，计算积分：
$$\int_{1}^{+\infty} x^{-\alpha} \, dx = \left. \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right|_{1}^{+\infty} = \lim_{b \to +\infty} \frac{b^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha}.$$
若 $\alpha > 1$，则 $1-\alpha < 0$，$b^{1-\alpha} \to 0$，积分收敛于 $\frac{1}{\alpha-1}$；若 $0 < \alpha < 1$，则 $1-\alpha > 0$，$b^{1-\alpha} \to +\infty$，积分发散。
公式：$\displaystyle \int x^{-\alpha} \, dx = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} + C$
提示：注意 $\alpha=1$ 时公式不适用，需单独处理。
步骤 5/7
目标：计算反常积分（α=1）
当 $\alpha = 1$ 时，积分变为 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx = \left. \ln x \right|_{1}^{+\infty} = \lim_{b \to +\infty} \ln b - \ln 1 = +\infty$，发散。
公式：$\displaystyle \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$
提示：注意 $\ln x$ 在 $x \to +\infty$ 时趋于无穷大。
步骤 6/7
目标：由积分判别法得出级数敛散性
根据积分判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ 与积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} \, dx$ 同敛散。因此：
- 当 $\alpha > 1$ 时，积分收敛，故级数收敛；
- 当 $0 < \alpha \leq 1$ 时，积分发散，故级数发散。
提示：注意 $\alpha=1$ 时积分发散，所以级数也发散。
步骤 7/7
目标：总结答案
综上所述，级数 $\displaystyle a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ 的敛散性为：当 $\alpha > 1$ 时收敛，当 $0 < \alpha \leq 1$ 时发散。
提示：答案要明确写出收敛和发散的条件。
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