四川师范大学 2024年数学分析第6题
📝 题目
6．计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{2024+\cos ^{2} x} d x$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量代换：令 t = π - x
令 $t = \pi - x$，则 $x = \pi - t$，$dx = -dt$。当 $x=0$ 时 $t=\pi$，$x=\pi$ 时 $t=0$。代入原积分得：
$$I = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin(\pi - t)}{2024 + \cos^2(\pi - t)} (-dt) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{2024 + \cos^2 t} dt.$$
公式：$
\sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \cos^2(\pi - t) = \cos^2 t
$
提示：注意积分限的变化：当 $x$ 从 $0$ 到 $\pi$ 时，$t$ 从 $\pi$ 到 $0$，交换上下限后负号抵消。
步骤 2/6
目标：拆分积分并利用对称性
将积分拆分为两部分：
$$I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin t}{2024 + \cos^2 t} dt - \int_{0}^{\pi} \frac{t \sin t}{2024 + \cos^2 t} dt = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{2024 + \cos^2 t} dt - I.$$
移项得：
$$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{2024 + \cos^2 x} dx.$$
提示：注意第二个积分与 $I$ 形式相同，因此可以合并。
步骤 3/6
目标：换元：令 u = cos x
令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x dx$。当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=\pi$ 时 $u=-1$。于是：
$$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{2024 + \cos^2 x} dx = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{2024 + u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{2024 + u^2}.$$
公式：$\sin x dx = -du$
提示：注意换元后积分限的变化：$x$ 从 $0$ 到 $\pi$ 对应 $u$ 从 $1$ 到 $-1$，负号使积分限反转。
步骤 4/6
目标：计算积分 ∫ du/(2024+u²)
利用公式 $\int \frac{du}{a^2+u^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$，其中 $a = \sqrt{2024}$。因此：
$$\int_{-1}^{1} \frac{du}{2024 + u^2} = \frac{1}{\sqrt{2024}} \left[ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2024}}\right) - \arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{2024}}\right) \right].$$
公式：$\int \frac{du}{a^2+u^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$
提示：注意 $\arctan$ 是奇函数：$\arctan(-x) = -\arctan(x)$。
步骤 5/6
目标：利用奇函数性质简化
由于 $\arctan$ 是奇函数，有 $\arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{2024}}\right) = -\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2024}}\right)$，所以：
$$\int_{-1}^{1} \frac{du}{2024 + u^2} = \frac{1}{\sqrt{2024}} \left[ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2024}}\right) + \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2024}}\right) \right] = \frac{2}{\sqrt{2024}} \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2024}}\right).$$
公式：$\arctan(-x) = -\arctan(x)$
提示：注意符号：减去负值等于加上正值。
步骤 6/6
目标：回代并求解 I
将上述结果代入 $2I = \pi \cdot \frac{2}{\sqrt{2024}} \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2024}}\right)$，得：
$$2I = \frac{2\pi}{\sqrt{2024}} \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2024}}\right).$$
两边除以 2 得：
$$I = \frac{\pi}{\sqrt{2024}} \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2024}}\right).$$
提示：最终结果可化简为 $\frac{\pi}{2\sqrt{506}} \arctan\left(\frac{1}{2\sqrt{506}}\right)$，但通常保留 $\sqrt{2024}$ 形式。
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