四川师范大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2024^{n} n^{x}}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析极限与求和交换顺序的条件
考虑函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2024^{n} n^{x}}$，其中 $x \in (0, \delta)$ 对于某个 $\delta > 0$。我们需要判断能否交换极限与求和顺序，即验证级数在 $x=0$ 附近是否一致收敛。
提示：注意极限 $x \to 0^+$ 是单侧极限，$x$ 可以任意接近0但大于0。
步骤 2/5
目标：验证级数的一致收敛性
对于任意 $x \geq 0$，有 $n^x \geq 1$，因此 $\frac{1}{n^x} \leq 1$。于是 $\left| \frac{1}{2024^{n} n^{x}} \right| \leq \frac{1}{2024^{n}}$。而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2024^{n}}$ 是收敛的几何级数（公比 $\frac{1}{2024} < 1$）。由Weierstrass M判别法，原级数在 $[0, \infty)$ 上一致收敛。
公式：Weierstrass M判别法：若 $|f_n(x)| \leq M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum f_n(x)$ 一致收敛。
提示：注意 $n^x$ 在 $x=0$ 时等于1，在 $x>0$ 时大于1，但放缩时用 $n^x \geq 1$ 得到上界 $1/2024^n$。
步骤 3/5
目标：交换极限与求和顺序
由于级数在 $x=0$ 附近一致收敛，且每个项 $\frac{1}{2024^{n} n^{x}}$ 关于 $x$ 连续（在 $x=0$ 也连续，因为 $n^0=1$），所以和函数连续，从而极限与求和可交换：
$$\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2024^{n} n^{x}} = \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2024^{n} n^{x}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2024^{n} \cdot 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2024^{n}}.$$
公式：一致收敛级数的和函数连续性：若 $\sum f_n(x)$ 一致收敛且每个 $f_n$ 连续，则和函数连续。
提示：确保一致收敛性成立，否则不能直接交换。
步骤 4/5
目标：计算几何级数
计算 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2024^{n}}$。这是一个首项 $a = \frac{1}{2024}$，公比 $r = \frac{1}{2024}$ 的几何级数。其和为 $\frac{a}{1-r} = \frac{1/2024}{1-1/2024} = \frac{1/2024}{(2023/2024)} = \frac{1}{2023}$。
公式：几何级数求和公式：$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$ 当 $|r|<1$。
提示：注意级数从 $n=1$ 开始，首项是 $1/2024$，而不是 $1$。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，原极限等于 $\frac{1}{2023}$。
提示：最终答案是一个简洁的分数。
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