四川师范大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8．写出 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \arctan s d s$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式，并确定收敛域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出被积函数的幂级数展开
已知 $\arctan s$ 的幂级数展开为 $\arctan s = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n s^{2n+1}}{2n+1}$，收敛域为 $|s| < 1$。
公式：\arctan s = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n s^{2n+1}}{2n+1}, \quad |s| < 1
提示：注意 $\arctan s$ 的展开只有奇次项，且系数为 $(-1)^n/(2n+1)$。
步骤 2/7
目标：逐项积分求 $f(x)$ 的级数
将 $\arctan s$ 的级数代入积分并逐项积分：
$$f(x) = \int_0^x \arctan s \, ds = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \int_0^x s^{2n+1} ds = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \cdot \frac{x^{2n+2}}{2n+2}.$$
公式：\int_0^x s^{2n+1} ds = \frac{x^{2n+2}}{2n+2}
提示：逐项积分在收敛区间内成立，注意积分上下限为 $0$ 到 $x$。
步骤 3/7
目标：化简级数表达式
将系数合并得到 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)}$。当 $x=0$ 时，级数第一项为 $0$，故 $f(0)=0$，与积分结果一致。
公式：f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)}
提示：注意 $x=0$ 时级数收敛到 $0$，无需单独处理。
步骤 4/7
目标：确定收敛半径
由于逐项积分不改变收敛半径，原级数 $\arctan s$ 的收敛半径为 $1$，故 $f(x)$ 的收敛半径也为 $1$，即 $|x|<1$ 时级数绝对收敛。
提示：逐项积分后收敛半径不变，但端点需单独判断。
步骤 5/7
目标：判断端点收敛性
在 $x=1$ 处，级数为 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}$；在 $x=-1$ 处，级数为 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (-1)^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}$，相同。由于通项 $\frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \sim \frac{1}{4n^2}$，级数绝对收敛。
提示：注意 $x=-1$ 时 $x^{2n+2}=1$，与 $x=1$ 相同，故端点收敛性一致。
步骤 6/7
目标：总结收敛域
因此，级数在 $|x| \leq 1$ 时收敛，收敛域为 $[-1,1]$。
提示：收敛域包括端点，因为级数绝对收敛。
步骤 7/7
目标：写出最终幂级数展开式
综上，$f(x)$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开式为 $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)}, \quad x \in [-1,1].$$
公式：f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)}
提示：注意展开点 $x=0$，级数只有偶次项（从 $x^2$ 开始）。
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