四川师范大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．讨论黎曼函数 $\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}\left(\frac{p}{q} \text { 是既约真分数 }\right. \\ 0, x \text { 是 }(0,1) \text { 无理数或 } 0 \text { 或 } 1\end{array}\right.$ 的连续性。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确黎曼函数的定义
黎曼函数 $R(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上定义为：若 $x$ 为既约真分数 $\frac{p}{q}$（其中 $p,q$ 为正整数，$0 \le p \le q$，$\gcd(p,q)=1$），则 $R(x)=\frac{1}{q}$；若 $x$ 为无理数，或 $x=0$ 或 $x=1$，则 $R(x)=0$。注意 $0=\frac{0}{1}$，$1=\frac{1}{1}$，故端点取值也为 $0$。
公式：$R(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q} \text{ 是既约真分数} \\ 0, & x \text{ 是无理数或 } 0,1 \end{cases}$
提示：注意既约分数的条件，以及端点 $0$ 和 $1$ 被归为有理数但函数值为 $0$。
步骤 2/5
目标：讨论无理点处的连续性
设 $x_0 \in (0,1)$ 为无理数，则 $R(x_0)=0$。对任意 $\varepsilon>0$，取 $N = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor$，则分母 $q \le N$ 的有理点只有有限个。令 $\delta$ 小于 $x_0$ 到这些有限个有理点的最小距离，则当 $|x-x_0|<\delta$ 时，任何有理点 $x$ 的分母 $q > 1/\varepsilon$，从而 $R(x) = 1/q < \varepsilon$；无理点处 $R(x)=0$。故 $|R(x)-R(x_0)| < \varepsilon$，因此 $R$ 在 $x_0$ 处连续。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in [0,1], |x-x_0|<\delta \Rightarrow |R(x)-0|<\varepsilon$
提示：关键在于分母小于等于 $1/\varepsilon$ 的有理点只有有限个，从而可以避开它们。
步骤 3/5
目标：讨论有理点处的不连续性
设 $x_0 = \frac{p}{q} \in (0,1)$ 为既约真分数，则 $R(x_0)=\frac{1}{q}>0$。取 $\varepsilon = \frac{1}{2q}$，由于无理数在 $[0,1]$ 中稠密，对任意 $\delta>0$，在 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 内总存在无理数 $y$，使得 $R(y)=0$。于是 $|R(y)-R(x_0)| = \frac{1}{q} > \varepsilon$，故极限 $\lim_{x \to x_0} R(x)$ 不存在或不为 $R(x_0)$，因此 $R$ 在 $x_0$ 处不连续。
公式：$\exists \varepsilon_0 = \frac{1}{2q} >0, \forall \delta>0, \exists y \in (x_0-\delta, x_0+\delta), |R(y)-R(x_0)| = \frac{1}{q} > \varepsilon_0$
提示：利用无理数的稠密性，任何邻域内都有函数值为 $0$ 的点，与正函数值产生矛盾。
步骤 4/5
目标：讨论端点 0 和 1 处的连续性
端点 $x=0$ 和 $x=1$ 处，$R(0)=R(1)=0$。考虑 $x=0$ 的右邻域（定义域内），类似无理点的论证：对任意 $\varepsilon>0$，分母 $q \le 1/\varepsilon$ 的有理点有限，取 $\delta$ 小于 $0$ 到这些有理点的最小距离，则当 $0 \le x < \delta$ 时，$|R(x)-0|<\varepsilon$。同理可证 $x=1$ 的左连续性。因此端点处连续。
公式：$\lim_{x \to 0^+} R(x) = 0 = R(0), \quad \lim_{x \to 1^-} R(x) = 0 = R(1)$
提示：端点只需考虑单侧极限，论证方法与无理点相同。
步骤 5/5
目标：总结连续性结论
综合以上讨论，黎曼函数 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 上的连续性为：所有无理点以及端点 $0$ 和 $1$ 处连续；所有 $(0,1)$ 内的有理点处不连续。
公式：无
提示：注意区分有理点与无理点的不同行为，关键在于函数值是否为正以及稠密性。
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