四川师范大学 2024年数学分析第10题
📝 题目
10．其中 $L$ 为椭圆 $\displaystyle (A x+B y)^{2}+(C x+D y)^{2}=1$ ，取正方向且 $\displaystyle A D-B C \neq 0$ 。计算
$$
I=\iint_{S}(x+y-z) d y d z+[2 y+\sin (z+x)] d z d x+\left(3 z+e^{x+y}\right) d x d y
$$
其中 $S$ 为封闭曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
给定第二类曲面积分 $I = \iint_S (x+y-z) dy dz + [2y+\sin(z+x)] dz dx + (3z+e^{x+y}) dx dy$，其中 $S$ 是封闭曲面 $|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面。由高斯公式，有 $I = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$，其中 $P = x+y-z$, $Q = 2y+\sin(z+x)$, $R = 3z+e^{x+y}$。计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x}=1$, $\frac{\partial Q}{\partial y}=2$, $\frac{\partial R}{\partial z}=3$，散度和为 $1+2+3=6$。因此 $I = \iiint_V 6 dV = 6V$，$V$ 为曲面 $S$ 所围体积。
公式：高斯公式：$\iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_V (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，本题已指明外表面。散度计算要仔细，$\sin(z+x)$ 对 $y$ 求导为0，$e^{x+y}$ 对 $z$ 求导为0。
步骤 2/5
目标：变量代换简化曲面方程
曲面 $S$ 的方程为 $|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$。令 $u = x-y+z$, $v = y-z+x$, $w = z-x+y$，则曲面变为 $|u|+|v|+|w|=1$，这是一个正八面体。需要将 $(x,y,z)$ 变换到 $(u,v,w)$。
提示：注意变量代换的线性关系，确保变换可逆（$AD-BC \neq 0$ 条件保证）。
步骤 3/5
目标：计算变换的雅可比行列式
变换矩阵为 $\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$。计算行列式：$\det = 1 \cdot (1\cdot1 - (-1)\cdot1) - (-1)\cdot(1\cdot1 - (-1)\cdot(-1)) + 1\cdot(1\cdot1 - 1\cdot(-1)) = 1\cdot2 + 1\cdot(1-1) + 1\cdot(1+1) = 2+0+2=4$。所以雅可比行列式 $\left| \frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} \right| = 4$，因此 $dxdydz = \frac{1}{4} du dv dw$。
公式：雅可比行列式：$\left| \frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} \right| = 4$
提示：计算行列式时注意符号，避免错误。
步骤 4/5
目标：计算新坐标系下的体积
在 $(u,v,w)$ 空间中，区域 $V$ 对应 $|u|+|v|+|w| \leq 1$，这是一个正八面体。其体积为 $\iiint_{|u|+|v|+|w| \leq 1} du dv dw = \frac{4}{3}$（标准结果）。因此原体积 $V = \iiint_V dxdydz = \iiint_{|u|+|v|+|w| \leq 1} \frac{1}{4} du dv dw = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$。
公式：正八面体 $|u|+|v|+|w| \leq 1$ 的体积为 $\frac{4}{3}$
提示：正八面体体积公式：$V = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$，其中 $a$ 为边长，但本题直接积分或记忆标准体积更简便。
步骤 5/5
目标：计算原积分
由第一步 $I = 6V$，代入 $V = \frac{1}{3}$，得 $I = 6 \times \frac{1}{3} = 2$。
公式：$I = 6V$
提示：注意单位体积计算正确。
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