四川师范大学 2024年数学分析第9题

分母为 $[(Ax+By)^2+(Cx+Dy)^2]^{2024}$，其中 $(Ax+By)^2+(Cx+Dy)^2$ 可视为二次型 $(x,y)M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$，矩阵 $M=\begin{pmatrix}A^2+C^2 & AB+CD\\ AB+CD & B^2+D^2\end{pmatrix}$。若该二次型正定，则等值线为椭圆，且仅在原点为零。题目未明确曲线 $L$，但通常 $L$ 是包围原点的简单闭曲线，否则积分可能为零或需特殊处理。

记 $P = -\frac{2024y}{[(Ax+By)^2+(Cx+Dy)^2]^{2024}}$，$Q = \frac{x}{[(Ax+By)^2+(Cx+Dy)^2]^{2024}}$，则 $I = \oint_L P\,dx + Q\,dy$。由格林公式，若 $L$ 所围区域 $D$ 内函数连续可微，则 $I = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy$。但原点处分母为零，若原点在 $D$ 内，则被积函数有奇点，需挖掉小圆取极限。

令 $u = Ax+By$，$v = Cx+Dy$，假设变换非退化，即 $\Delta = AD - BC \neq 0$。则 $x = \frac{Du - Bv}{\Delta}$，$y = \frac{-Cu + Av}{\Delta}$。微分形式变换：$du = A\,dx + B\,dy$，$dv = C\,dx + D\,dy$，解得 $dx = \frac{D\,du - B\,dv}{\Delta}$，$dy = \frac{-C\,du + A\,dv}{\Delta}$。分母化为 $(u^2+v^2)^{2024}$，分子 $x\,dy - 2024y\,dx$ 需代入变换。

代入 $x = \frac{Du - Bv}{\Delta}$，$y = \frac{-Cu + Av}{\Delta}$ 及 $dx,dy$ 到 $x\,dy - 2024y\,dx$，整理得分子为 $\frac{1}{\Delta^2}\left[ (2023CD\,u + (BC-2024AD)v)\,du + ((AD-2024BC)u + 2023AB\,v)\,dv \right]$。详细展开：第一部分 $(Du-Bv)(-C\,du+A\,dv) = -CDu\,du + ADu\,dv + BCv\,du - ABv\,dv$；第二部分 $-2024(-Cu+Av)(D\,du-B\,dv) = 2024CDu\,du -2024BCu\,dv -2024ADv\,du +2024ABv\,dv$；合并 $du$ 系数得 $2023CDu + (BC-2024AD)v$，$dv$ 系数得 $(AD-2024BC)u + 2023ABv$。

由于积分与路径无关（仅依赖绕原点次数），取 $\Gamma$ 为单位圆 $u=\cos\phi$，$v=\sin\phi$，则 $du=-\sin\phi\,d\phi$，$dv=\cos\phi\,d\phi$，分母为 $1$。代入分子得被积函数：$[-2023CD\cos\phi\sin\phi - (BC-2024AD)\sin^2\phi + (AD-2024BC)\cos^2\phi + 2023AB\sin\phi\cos\phi]\,d\phi$。合并 $\sin\phi\cos\phi$ 项为 $2023(AB-CD)\sin\phi\cos\phi$，其余为 $-(BC-2024AD)\sin^2\phi + (AD-2024BC)\cos^2\phi$。

对 $\phi$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 积分，$\sin\phi\cos\phi$ 项积分为 $0$，$\sin^2\phi$ 和 $\cos^2\phi$ 项积分得：$-(BC-2024AD)\pi + (AD-2024BC)\pi = \pi(-BC+2024AD+AD-2024BC) = 2025\pi(AD-BC)$。再乘以因子 $\frac{1}{\Delta^2}$，其中 $\Delta = AD-BC$，故 $I = \frac{2025\pi(AD-BC)}{(AD-BC)^2} = \frac{2025\pi}{AD-BC}$。