四川师范大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．证明 $\displaystyle f(x)=\frac{1+\sin ^{2} x}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续但不一致连续。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明函数在(0,1)内连续
函数 $f(x)=\frac{1+\sin^2 x}{x}$ 在 $(0,1)$ 内连续，因为分子 $1+\sin^2 x$ 连续且恒大于0（$\sin^2 x \ge 0$，故分子 $\ge 1$），分母 $x$ 在 $(0,1)$ 内连续且不为零，所以 $f(x)$ 作为连续函数的商在 $(0,1)$ 内连续。
提示：注意分母 $x$ 在 $(0,1)$ 内不为零，因此商函数连续。
步骤 2/8
目标：定义不一致连续的概念
要证明 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内不一致连续，即存在 $\varepsilon_0>0$，使得对任意 $\delta>0$，存在 $x,y\in(0,1)$ 满足 $|x-y|<\delta$ 但 $|f(x)-f(y)|\ge \varepsilon_0$。
提示：不一致连续的定义是存在某个正数 $\varepsilon_0$，无论 $\delta$ 多小，都能找到两点距离小于 $\delta$ 但函数值差至少为 $\varepsilon_0$。
步骤 3/8
目标：选取特定的 $\varepsilon_0$ 和点列
取 $\varepsilon_0=1$。对任意 $\delta>0$，取 $n$ 充分大使得 $\frac{1}{n}<\delta$，并令 $x_n=\frac{1}{n}$，$y_n=\frac{1}{2n}$。则 $x_n,y_n\in(0,1)$，且 $|x_n-y_n|=\frac{1}{2n}<\frac{1}{n}<\delta$。
提示：选择点列时，确保两点距离小于 $\delta$，且 $x_n$ 和 $y_n$ 都趋于0。
步骤 4/8
目标：计算 $f(x_n)$ 和 $f(y_n)$
$f(x_n)=\frac{1+\sin^2(1/n)}{1/n}=n(1+\sin^2(1/n))$，
$f(y_n)=\frac{1+\sin^2(1/(2n))}{1/(2n)}=2n(1+\sin^2(1/(2n)))$。
提示：注意 $\frac{1}{x}$ 在 $x$ 很小时会放大函数值。
步骤 5/8
目标：估计 $|f(x_n)-f(y_n)|$ 的渐近行为
当 $n\to\infty$ 时，$\sin(1/n)\sim 1/n$，$\sin(1/(2n))\sim 1/(2n)$，所以 $1+\sin^2(1/n)\sim 1+1/n^2$，$1+\sin^2(1/(2n))\sim 1+1/(4n^2)$。因此
$|f(x_n)-f(y_n)| \sim |n(1+1/n^2) - 2n(1+1/(4n^2))| = |n+1/n - 2n - 1/(2n)| = |-n + 1/(2n)| = n - 1/(2n)$。
公式：$\sin x \sim x$ 当 $x\to 0$
提示：使用等价无穷小替换时，注意 $\sin^2(1/n)\sim 1/n^2$，但这里 $n$ 乘以 $1/n^2$ 得到 $1/n$，是无穷小，不影响主要项 $n$。
步骤 6/8
目标：证明存在 $N$ 使得 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge 1$
当 $n$ 充分大时，$n - 1/(2n) > 1$，例如 $n\ge 2$ 时 $n-1/(2n)\ge 2-1/4=1.75>1$。所以存在 $N$（如 $N=2$）使得对所有 $n\ge N$，有 $|f(x_n)-f(y_n)| \ge 1$。
提示：严格证明时，可以取 $N$ 使得 $n-1/(2n)>1$，即 $2n^2-2n-1>0$，解得 $n>\frac{1+\sqrt{3}}{2}\approx 1.366$，所以 $n\ge 2$ 即可。
步骤 7/8
目标：完成不一致连续的证明
因此，对任意 $\delta>0$，取 $n>\max\{N, 1/\delta\}$，则 $|x_n-y_n|=\frac{1}{2n}<\frac{1}{n}<\delta$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge 1$。故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内不一致连续。
提示：注意 $n$ 要同时满足 $n\ge N$ 和 $n>1/\delta$，以确保两点距离小于 $\delta$ 且函数值差至少为1。
步骤 8/8
目标：总结结论
综上所述，$f(x)=\frac{1+\sin^2 x}{x}$ 在 $(0,1)$ 内连续但不一致连续。
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