四川师范大学 2025年数学分析第9题

所求面积为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 被柱面 $(x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{4}$ 所截部分的面积。由于图形关于 $xOy$ 平面对称，且柱面在 $xOy$ 平面上的投影区域关于 $x$ 轴对称，因此只需计算第一卦限部分（$z\geq 0$，$y\geq 0$）的面积，再乘以2。

球面方程 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$（取上半部分）。计算偏导数：$z_x = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$，$z_y = \frac{-y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$。则面积微元 $dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy = \sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{1-x^2-y^2}}\,dxdy = \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dxdy$。

柱面 $(x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{4}$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域 $D$ 为 $(x-\frac{1}{2})^2+y^2 \leq \frac{1}{4}$，且 $x^2+y^2 \leq 1$（因为球面投影为圆盘）。在极坐标下，柱面方程化为 $r = \cos\theta$，其中 $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。由于对称性，只考虑 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，$r$ 从 $0$ 到 $\cos\theta$。

上半球面面积 $S_{\text{上}} = \iint_D \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dxdy$。由对称性，总面积为 $S = 2S_{\text{上}}$。在极坐标下，$dxdy = r\,dr\,d\theta$，被积函数 $\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}$。考虑第一卦限（$y\geq 0$）部分，$\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$，$r$ 从 $0$ 到 $\cos\theta$，再乘以4（因为上下对称和左右对称？注意：实际上，由于柱面投影关于 $x$ 轴对称，且球面上下对称，总面积应为 $4$ 倍第一卦限面积。但题目答案中用了 $2$ 倍，然后积分区域为 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/2$，$r$ 从 $0$ 到 $\cos\theta$，再乘以2？仔细分析：原答案写 $S=2\iint_D$，然后由对称性 $S=4\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}dr$。这里 $2\iint_D$ 中的 $D$ 是整个投影区域（包括 $y$ 正负），而 $\iint_D = 2\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}dr$，所以 $S=4\int_0^{\pi/2}\cdots$。因此步骤中应说明：$S=2\iint_D \frac{1}{\sqrt{1-r^2}}r\,dr\,d\theta$，而 $\iint_D = 2\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}dr$，故 $S=4\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}dr$。

计算内层积分 $\int_0^{\cos\theta} \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\,dr$。令 $u=1-r^2$，则 $du=-2r\,dr$，$r\,dr = -\frac{1}{2}du$。当 $r=0$ 时 $u=1$，$r=\cos\theta$ 时 $u=1-\cos^2\theta = \sin^2\theta$。于是积分 $= \int_1^{\sin^2\theta} \frac{-1/2}{\sqrt{u}}\,du = \frac{1}{2}\int_{\sin^2\theta}^1 u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u}\big|_{\sin^2\theta}^1 = 1 - \sin\theta$。

外层积分 $S = 4\int_0^{\pi/2} (1-\sin\theta)\,d\theta = 4\left[ \theta + \cos\theta \right]_0^{\pi/2} = 4\left( \frac{\pi}{2} + 0 - (0+1) \right) = 4\left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = 2\pi - 4$。

因此，球面与柱面所围内部图形的面积为 $2\pi - 4$。