📝 四川师范大学 2025年数学分析真题

1、（15 分）已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ ，数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 严格递增，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=+\infty$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}=a$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=a$ ．

2、（15 分）已知 $f$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 连续，且 $f$ 不恒为 0 ．
（1）$\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+f(x) \sin x}-1}{3^{x}-1}$ 是否能够应用洛必达法则计算．
（2）计算 $A$ 的值．

3、（15 分）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}} & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & x^{2}+y^{2} \neq 0\end{array}\right.$ ，试判断 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y)$ 与 $\displaystyle f_{y}^{\prime}(x, y)$在点 $\displaystyle (0,0)$ 是否连续．

4、（30 分）计算题．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3} \arctan (1+n)\left(1-\cos \frac{1}{n^{2}}\right)}{\sqrt{1+n^{2}}-n}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{d x}{2+\sin ^{2} x}$ ．

5、（15 分）计算 $\displaystyle y=\frac{1+x^{2}}{1+x}$ 的渐近线．

6、（15 分）计算第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y$ ，其中 $S$ 为单位球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧．

7、（15 分）判断 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y^{x} e^{y} d y$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致收敛，并说明理由．

8、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d y$ 其中 $D$ 由 $\displaystyle x^{2}-y^{2}=1, x^{2}-y^{2}=9, x y=1, x y=3$ 所围成．

9、（15 分）计算球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与柱面 $\displaystyle \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$ 所围内部图形面积．