四川师范大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d y$ 其中 $D$ 由 $\displaystyle x^{2}-y^{2}=1, x^{2}-y^{2}=9, x y=1, x y=3$ 所围成．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：变量替换
令 $u = x^2 - y^2$, $v = xy$，则积分区域 $D$ 变换为 $u \in [1,9]$, $v \in [1,3]$。
提示：注意替换后区域边界对应关系：$x^2-y^2=1$ 和 $9$ 对应 $u=1$ 和 $9$；$xy=1$ 和 $3$ 对应 $v=1$ 和 $3$。
步骤 2/7
目标：计算雅可比行列式
计算 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} 2x & -2y \\ y & x \end{vmatrix} = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2+y^2)$。因此 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{2(x^2+y^2)}$。
公式：雅可比行列式公式：$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \left(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right)^{-1}$
提示：注意雅可比行列式是变换的导数行列式，计算时不要漏掉绝对值，但此处为正。
步骤 3/7
目标：用新变量表示被积函数
由 $u = x^2 - y^2$, $v = xy$，得 $(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + 4x^2y^2 = u^2 + 4v^2$，所以 $x^2+y^2 = \sqrt{u^2+4v^2}$。
公式：$(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + (2xy)^2$
提示：注意开方取正，因为 $x^2+y^2 \ge 0$。
步骤 4/7
目标：写出变换后的积分
积分变为 $\iint_D (x^2+y^2) \,dxdy = \int_{v=1}^3 \int_{u=1}^9 \sqrt{u^2+4v^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+4v^2}} \,du\,dv$。
公式：变量替换公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du dv$
提示：注意雅可比行列式取绝对值，这里为正，直接代入。
步骤 5/7
目标：化简被积函数
被积函数中 $\sqrt{u^2+4v^2}$ 与 $\frac{1}{2\sqrt{u^2+4v^2}}$ 相乘得 $\frac{1}{2}$，所以积分化为 $\frac{1}{2} \int_{v=1}^3 \int_{u=1}^9 1 \,du\,dv$。
提示：注意约分时不要遗漏系数 $\frac{1}{2}$。
步骤 6/7
目标：计算二重积分
先对 $u$ 积分：$\int_{u=1}^9 1 \,du = 8$；再对 $v$ 积分：$\int_{v=1}^3 8 \,dv = 8 \times 2 = 16$；乘以 $\frac{1}{2}$ 得 $8$。
公式：矩形区域上的二重积分等于长乘宽
提示：积分次序可交换，注意积分限对应正确。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此，所求积分的值为 $8$。
提示：最终答案应写为 $\boxed{8}$。
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